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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Exercício 161234567891011121314151718

Enunciado

18) Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M , de equação x 2 + y 2 = R 2 , R > 0 , com 0 ≤ z ≤ 1 , em torno do eixo z .

Passo 1

Se o problema quer momento de inércia em relação ao eixo z ( I z ), o momento em relação ao eixo z vamos dar:

I z = ∬ S   x 2 + y 2 ρ x ,   y ,   z d S

A função de densidade é constante k por ser a superfície é homogênea...

I z = k ∬ S   x 2 + y 2 d S

Para resolver uma integral de superfície escalar como essa, vamos realizar basicamente três procedimentos centrais:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

3º - Substituir os termos da parametrização na função a ser integrada.

Então, mão a obra ;)

Passo 2

A superfície é, de acordo com o enunciado, esse pedaço de cilindro deslocado aqui:

x 2 + y 2 = R 2

O cilindro tem raio R como você pode ver a seguir:

Note que a superfície S já é esse cilindro. Porem não queremos o cilindro todo neh? É por isso que limitamos somente o pedaço que está entre os planos z = 0 e z = 1 .

Passo 3

Parametrizar uma superfície cilíndrica é comparar com a equação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

Comparando com a equação da superfície...

x 2 + y 2 = R 2       →             x 2 R 2 + y 2 R 2 = 1     →

x R 2 + y R 2 = 1

Vemos que existe uma relação direta entre...

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

e o z , do cilindro fica variando solto e livre...

z = z

Então a parametrização é...

r θ ,   z = R cos ⁡ θ , R sin ⁡ θ ,   z

Passo 4

É importante conhecermos o domínio dos parâmetros... Onde eles variam, saca?

O θ gira uma volta completa para fazer o cilindro...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já o z , varia entre...

p l a n o   z = 0 ≤ z ≤ p l a n o   z = 1 →

0 ≤ z ≤ 1     →

Passo 5

Falta-nos encontrar o termo d S ...

d S = N →   d θ d z

Onde...

N → = ∂ r θ ,   z ∂ θ × ∂ r θ ,   z ∂ z

Calculando as derivadas parciais...

r θ ,   z = R cos ⁡ θ , R sin ⁡ θ ,   z                       →                       ∂ r θ ,   z ∂ θ = - R sin ⁡ θ , R cos ⁡ θ ,   0

r θ ,   z = R cos ⁡ θ , R sin ⁡ θ ,   z                       →                       ∂ r θ ,   z ∂ z = 0 ,   0 ,   1

N → = i → j → k → - R sin ⁡ θ R cos ⁡ θ 0 0 0 1 =

R cos ⁡ θ i → - - R sin ⁡ θ j →

Portanto o vetor normal à superfície é...

N → = R cos ⁡ θ , R sin ⁡ θ ,   0

Como nos importamos com o módulo de N → , não precisa se importar com o sinal dele...

N → = R cos ⁡ θ 2 + R sin ⁡ θ 2 + 0 2   →

N → = R 2 cos 2 ⁡ θ + R 2 sin 2 ⁡ θ →

N → = R 2 = R

Então...

d S = R   d θ d z

Passo 6

Antes de retornar à integral

I z = k ∬ S   x 2 + y 2 d S

e simplesmente substituirmos tudo, vamos transformar a função escalar que estamos integrando em termos dos parâmetros da superfície...

x 2 + y 2     →         R 2 cos 2 ⁡ θ + R 2 sin 2 ⁡ θ =

R 2

Passo 7

Dado as variações dos parâmetros...

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ 1

E lembrando que...

d S = R   d θ d z

e acabamos de ver...

x 2 + y 2 z     →   R 2

A integral de superfície então se transforma em uma...

I z = k ∬ S   x 2 + y 2 d S =

k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R 2 ⋅ R   d z d θ

Integral Dupla. ! Bora calcula-la?

Passo 8

Calculando a integral de dentro...

k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R 2 ⋅ R   d z d θ = k R 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1   d z d θ =

k R 3 ∫ 0 2 π z 0 1 d θ = k R 3 ∫ 0 2 π d θ =

k R 3 2 π

Passo 9

Bem, esse já é o valor do momento de inércia pedido. Porém, o problema vai um pouco mais além e nos pede em função da massa M da superfície.

A massa de uma superfície é dada também por uma integral de superfície bem especial...

M = ∬ S   ρ x ,   y ,   z d S

Como a função densidade é k ...

M = k ∬ S   d S

Substituindo tudo já encontrado...

M = k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R   d z   d θ =

k R ∫ 0 2 π d θ = k R 2 π

Como o momento de inércia é

I z = k R 3 2 π =

k R 2 π ⋅ R 2 =

M R 2

Resposta

M R 2

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