Considere a equação diferencial

x^2 * y'' + x * y' - (1/4) * y = raiz(x), x > 0

  1. Encontre a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada
  2. Usando o método de variação de parâmetros encontrar uma solução particular

Passo 1

Essa equação que ele deu é uma equação de Euler, então podemos resolver pela equação de Euler. Vamos começar achando a solução da equação homogênea associada.

x 2 y ' ' + x y ' - 1 4 y = 0

As soluções vão ser da forma

y = x r

Vamos achar o polinômio característico, que vai ser

r r - 1 + 1 r - 1 4 = 0

r 2 - r + r - 1 4 = 0

r 2 - 1 4 = 0

Passo 2

Resolvendo essa equação vamos ter

r 2 = 1 4

Assim temos

r 1 = 1 2

r 2 = - 1 2

As raízes são diferentes, e a solução vai ser

y h = C 1 x 1 / 2 + C 2 x - 1 / 2

Passo 3

b)

Agora temos que achar a solução da EDO

x 2 y ' ' + x y ' - 1 4 y = x ,     x > 0

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos y 1 e y 2 da homogênea, temos que achar

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Primeiro temos que deixar só y ' ' ali quando usamos a variação de parâmetros

y ' ' + 1 x y ' - 1 4 x 2 y = x x 2

y ' ' + 1 x y ' - 1 4 x 2 y = x - 3 / 2

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = x - 3 / 2

E

M = x 1 / 2 ' x - 1 / 2 - x - 1 / 2 ' x 1 / 2

M = 1 2 x - 1 / 2 x - 1 / 2 - - 1 2 x - 3 / 2 x 1 / 2

M = 1 2 x - 1 + 1 2 x - 1

M = x - 1

Passo 4

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = x - 3 / 2 x - 1 / 2 x - 1

f 1 ' x = x - 2 x - 1

f 1 ' x = x - 1

Vamos ter

f 1 x = ∫ 1 x d x

Assim vamos ter

f 1 x = ln ⁡ x

Passo 5

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - x - 3 / 2 x 1 / 2 x - 1

f 2 ' x = - x - 1 x - 1

f 2 ' x = - 1

Então

f 2 x = ∫ - 1 d x = - x

Passo 6

A nossa solução particular vai ser

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = ln ⁡ x x 1 / 2 + - x x - 1 / 2

y p = ln ⁡ x x 1 / 2 - x 1 / 2

Resposta

a)

y h = C 1 x 1 / 2 + C 2 x - 1 / 2

b)

y p = ln ⁡ x x 1 / 2 - x 1 / 2

Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

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