Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros
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EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis
Considere a equação diferencial
- Encontre a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada
- Usando o método de variação de parâmetros encontrar uma solução particular
Passo 1
Essa equação que ele deu é uma equação de Euler, então podemos resolver pela equação de Euler. Vamos começar achando a solução da equação homogênea associada.
As soluções vão ser da forma
Vamos achar o polinômio característico, que vai ser
Passo 2
Resolvendo essa equação vamos ter
Assim temos
As raízes são diferentes, e a solução vai ser
Passo 3
b)
Agora temos que achar a solução da EDO
Lembrando que a solução vai ser
Onde é a solução da homogênea associada e é a solução da particular.
A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos e da homogênea, temos que achar
Primeiro temos que deixar só ali quando usamos a variação de parâmetros
Onde
E
Onde é aquela função do lado direito da EDO, e vai ser
Vamos achar aqui rapidinho e porque vamos usar para achar e
E
Passo 4
Vamos começar achando
Vamos ter
Assim vamos ter
Passo 5
Vamos agora a
Então
Passo 6
A nossa solução particular vai ser
Resposta
a)
b)