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Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

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Exercício 123456789

Enunciado

Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada

y ' ' ' + y ' = tg ⁡ x

Com

0 < x < π

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' + y ' = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 + r = 0

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 + r = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência

r r 2 + 1 = 0

Assim vamos ter

r = 0         o u         r 2 + 1 = 0

E

r 1 = 0

r 2 = i

r 3 = - i

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que todas as raízes tem multiplicidade 1 , então as soluções vão ser

y 1 = C 1 e 0 x = C 1

y 2 + y 3 = e 0 x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x = C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

Passo 4

Vamos agora para a solução particular dessa EDO.

y ' ' ' + y ' = tg ⁡ x

Com

0 < x < π

Ele disse para usarmos o método da variação de parâmetros para resolver isso. Mesmo que ele não tivesse dito como aquela função do lado direito é tg ⁡ x ela não se enquadra naquelas do coeficientes a determinar, então precisamos usar o método da variação de parâmetros mesmo.

A nossa solução particular vai ser

y p = y 1 u 1 + y 2 u 2 + y 3 u 3

Onde

y 1 = 1

y 2 = cos ⁡ x

y 3 = sen ⁡ x

Que são as funções que achamos da homogênea sem as constantes.

Precisamos achar u 1 , u 2 e u 3 , para isso temos que achar a matriz W que vimos na teoria, vai ser

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' = 1 cos ⁡ x sen ⁡ x 0 - sen ⁡ x cos ⁡ x 0 - cos ⁡ x - sen ⁡ x

Além disso devemos achar W 1 , W 2 e W 3

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 ' ' y 3 ' ' = 0 cos ⁡ x sen ⁡ x 0 - sen ⁡ x cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x - sen ⁡ x

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 ' ' 1 y 3 ' ' = 1 0 sen ⁡ x 0 0 cos ⁡ x 0 1 - sen ⁡ x

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 ' ' y 2 ' ' 1 = 1 cos ⁡ x 0 0 - sen ⁡ x 0 0 - cos ⁡ x 1

E nossas funções u vão ser

u k = ∫ tg ⁡ x det ⁡ W k det ⁡ W d x

Com k = 1,2 , 3

Passo 5

Vamos começar com u 1

u 1 = ∫ tg ⁡ x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

Vamos achar esses determinantes

det ⁡ W = 1 cos ⁡ x sen ⁡ x 0 - sen ⁡ x cos ⁡ x 0 - cos ⁡ x - sen ⁡ x = sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

det ⁡ W = 1

det ⁡ W 1 = 0 cos ⁡ x sen ⁡ x 0 - sen ⁡ x cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x - sen ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

det ⁡ W 1 = 1

Vamos ter

u 1 = ∫ tg ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x

Passo 6

Vamos começar com u 2

u 2 = ∫ tg ⁡ x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

Vamos achar o det ⁡ W 2

det ⁡ W 2 = 1 0 sen ⁡ x 0 0 cos ⁡ x 0 1 - sen ⁡ x = - cos ⁡ x

det ⁡ W 2 = - cos ⁡ x

Vamos ter

u 2 = ∫ - tg ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - sen ⁡ x d x = cos ⁡ x

Passo 7

Vamos começar com u 3

u 3 = ∫ tg ⁡ x det ⁡ W 3 det ⁡ W d x

Vamos achar o det ⁡ W 3

det ⁡ W 3 = 1 cos ⁡ x 0 0 - sen ⁡ x 0 0 - cos ⁡ x 1 = - sen ⁡ x

det ⁡ W 2 = - sen ⁡ x

Vamos ter

u 3 = - ∫ tg ⁡ x sen ⁡ x d x = - ∫ sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ sec ⁡ x - cos ⁡ x d x

u 3 = ∫ - sec ⁡ x + cos ⁡ x d x = sen ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Passo 8

Assim vamos ter

u 1 = ln ⁡ sec ⁡ x

u 2 = cos ⁡ x

u 3 = sen ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

E a nossa solução particular vai ser

y p = y 1 u 1 + y 2 u 2 + y 3 u 3

Onde

y 1 = 1

y 2 = cos ⁡ x

y 3 = sen ⁡ x

Vamos ter

y p = 1 . ln ⁡ sec ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x sen ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

y p = ln ⁡ sec ⁡ x + cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

y p = ln ⁡ sec ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Passo 9

A nossa solução vai ficar

y = y h + y p

y = C 1 + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

Resposta

y = C 1 + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x

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