Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Enunciado

Calculo 4 – UFPE – 1° EE

Use o método da variação dos parâmetros para resolver a EDO

Passo 1

Vamos lá. Precisamos resolver uma EDO de segunda ordem (derivada máxima de ordem 2) e que não é homogênea (olha o ).

Como estamos trabalhando com uma EDO não homogênea, a sua solução pode ser escrita da seguinte forma:

Em que é a solução da EDO homogênea associada e é a solução particular do nosso problema. E é em relação a esta solução particular que devemos utilizar o método sugerido pela questão, o método da variação de parâmetros.

Mas, antes disto, vamos obter a solução da EDO homogênea associada.

Passo 2

A EDO homogênea associada ao problema é escrita da seguinte forma:

Portanto, a equação característica desta EDO é:

Calculando o , temos:

Como o valor de foi igual a 0, a solução da EDO possui a seguinte forma:

Nos resta então encontrar as raízes da equação característica. Continuando a sua resolução, vamos obter duas raízes iguais, sendo elas . Portanto, a solução homogênea da EDO é:

Passo 3

Agora, podemos partir para o método da variação dos parâmetros. A ideia por trás deste método é transformar as constantes e da nossa solução homogênea em duas funções de . Isto é,

E o nosso trabalho é determinarmos quem são essas e .

Poderíamos desenvolver todo o método aqui para chegar nas fórmulas utilizadas para calcular essas funções acima. Entretanto, vamos utilizar as relações já desenvolvidas em sala de aula e também nos livros!

Portanto, sabemos que as derivadas e são dadas por:

Caramba. Muita informação agora. Quem são todas essas variáveis acima?

Vamos com calma. Primeiro, vamos relembrar que a nossa EDO é da seguinte forma:

Portanto, se a gente compara com a EDO da questão, sabemos que . Pronto, já sabemos uma informação importante. Agora, quem são esses e ?

Bom, e são as duas soluções particulares da EDO homogênea associada, calculadas no Passo 2. Portanto, e . Continuando, e são suas derivadas.

Agora sim, estamos quase finalizando. Só nos resta identificarmos . Esta função é chamada de Wronskiano, e ele é calculada por:

Passo 4

Pronto! Só juntarmos todas as informações obtidas até agora para determinarmos o e . Logo,

Integrando para obtermos as funções e , obteremos:

Percebam que nós nos preocupamos apenas com uma solução particular ao integrarmos, não colocamos a constante de integração. Sendo assim, a solução particular da nossa EDO é: