Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros
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Calculo 3 – UNICAMP – P1
Dada a seguinte e.d.o. linear não homogênea, mostre que e são soluções da e.d.o. homogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular para a e.d.o. usando o método de Variação dos Parâmetros.
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
Passo 1
Vamos a nossa questão! Temos uma EDO linear não homogênea de segunda ordem!
Inicialmente, a questão nos pede para mostrarmos que e são soluções da EDO homogênea associada, isto é, são soluções da seguinte equação:
Então, basta substituirmos as soluções que nos foram dadas na equação acima e verificarmos que elas satisfazem. Mas, para isto, vamos precisar deriva-las primeiramente. Portanto,
Começando então pela solução , temos:
Opa! Temos uma verdade aqui! Agora, vamos verificar que também é solução. Portanto,
E chegamos a outra verdade! Portanto, acabamos de provar que sim, e são soluções da EDO homogênea associada!
Passo 2
Agora precisamos obter a solução particular da nossa EDO utilizando o método da Variação dos Parâmetros. Primeiramente, sabemos que a nossa solução homogênea é da seguinte forma.
Como já nos foi dito no enunciado da questão e provado no Passo 1, podemos afirmar que e .
Já a solução particular será da seguinte forma:
Como já conhecemos as funções , pois são as mesmas da solução homogênea, só nos resta conhecermos as funções .
Só que, como se não bastasse, a questão nos obriga a resolver o sistema abaixo utilizando a regra de Crammer:
Substituindo as relações de e , e sabendo que (precisamos dividir toda EDO por , para deixar o coeficiente que multiplica o termo de maior ordem, igual a 1. Depois, dizemos que o segundo membro da EDO é igual a ), temos:
Reescrevendo na forma matricial, temos:
Agora, só nos resta resolvermos pelo método de Crammer o sistema acima.
Passo 3
Mas afinal, o que é este método de Crammer??? Vamos entender melhor ele resolvendo para .
Nosso primeiro passo é determinar o determinante da matriz dos coeficientes, isto é:
Agora, vamos fazer o seguinte. Como queremos determinar o valor de (primeira linha da matriz das variáveis), vamos substituir a primeira coluna da matriz dos coeficientes pela matriz coluna dos termos independentes, calcular o determinante e dividir pelo determinante da matriz dos coeficientes.
Confuso? Vejamos abaixo então:
Percebam que o denominador é o que calculamos no início do Passo 3. Já o numerador é a matriz dos coeficientes com a primeira linha trocada pela matriz coluna dos termos independentes. Agora, só nos resta calcularmos o determinante do numerador. Com isto, teremos:
Agora, vamos repetir para . Só que agora, vamos trocar a segunda coluna pela matriz dos termos independentes. Portanto,
Passo 4
Por fim, agora que descobrimos os valores de e , só nos resta integrá-los para descobrirmos os coeficientes e da nossa solução particular. Portanto,
Percebam que não precisamos considerar as constantes da integração. Por fim, a nossa solução particular será:
E assim finalizamos a nossa questão.
Resposta
A solução particular é: