Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros
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Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:
Passo 1
Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:
A equação auxiliar é:
Passo 2
Agora vamos resolvê-la:
Colocando em evidência:
Colocando em evidência:
As raízes são:
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:
A solução da homogênea associada é:
Passo 4
Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:
O método da variação dos parâmetro supõe que :
Substituindo:
Porém vimos que para encontrar e precisamos calcular e
Passo 5
Vamos calcular e :
Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:
De temos:
De temos:
De temos:
Passo 6
Agora podemos encontrar:
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 9
Vamos calcular :
Substituindo:
Passo 10
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 11
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 12
Vamos calcular :
Da EDO temos :
Substituindo:
Calculando a integral:
Encontramos:
Passo 13
Podemos então encontrar a solução particular:
Substituindo:
Ajeitando:
Passo 14
A solução geral vai ser:
Passo 15
Veja que a solução geral está definida para todo .