Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros
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Calculo 3 – UNICAMP – P1
Dada a seguinte e.d.o. linear não homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea associada . Em seguida, encontre a solução particular da equação diferencial pelo método de Variação dos Parâmetros.
Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema:
Passo 1
Vamos a nossa questão! Temos uma EDO linear não homogênea de terceira ordem!
Inicialmente, a questão nos pede para encontrarmos a solução da EDO homogênea associada. Somente depois temos que encontrar a solução particular. Sendo assim, vamos começar determinando a solução complementar, da EDO homogênea associada.
Para isto, vamos igualar a nossa EDO a 0. Logo,
Agora, devemos fazer um procedimento semelhante ao que fazemos para EDO’s homogênea de segunda ordem. Um bom candidato a solução é . Vamos descobrir as derivadas desse para substituir na nossa EDO e encontrar a equação característica. Portanto,
Então, substituindo na nossa EDO, temos:
Como para qualquer número real , então, a nossa equação característica será:
Percebam que é uma solução para esta equação. Se fatorarmos ela, vamos obter:
Agora fica mais fácil resolver a equação do segundo grau. Com isto, temos:
Portanto, as raízes são , e . Sendo assim, concluindo a primeira parte da questão, a solução complementar da EDO será:
Passo 2
Agora precisamos obter a solução particular da nossa EDO utilizando o método da Variação dos Parâmetros. Pelo enunciado da questão, sabemos que a solução homogênea era da seguinte forma:
Como calculamos no Passo 1, podemos afirmar que , e .
Já a solução particular o enunciado disse que ele é da forma . Como já conhecemos as funções , pois são as mesmas da solução homogênea, só nos resta conhecermos as funções .
Só que, como se não bastasse, a questão nos obriga a resolver o sistema abaixo utilizando a regra de Crammer:
Substituindo as relações de , e e sabendo que (o segundo membro da EDO), temos:
Reescrevendo na forma matricial, temos:
Agora, só nos resta resolvermos pelo método de Crammer o sistema acima.
Passo 3
Mas afinal, o que é este método de Crammer??? Vamos entender melhor ele resolvendo para .
Nosso primeiro passo é determinar o determinante da matriz dos coeficientes, isto é:
Agora, vamos fazer o seguinte. Como queremos determinar o valor de (primeira linha da matriz das variáveis), vamos substituir a primeira coluna da matriz dos coeficientes pela matriz coluna dos termos independentes, calcular o determinante e dividir pelo determinante da matriz dos coeficientes.
Confuso? Vejamos abaixo então:
Percebam que o denominador é o que calculamos no início do Passo 3. Já o numerador é a matriz dos coeficientes com a primeira linha trocada pela matriz coluna dos termos independentes. Agora, só nos resta calcularmos o determinante do numerador. Com isto, teremos:
Agora, vamos repetir para as outras incógnitas e . Só que agora, vamos trocar a segunda e terceira coluna pela matriz dos termos independentes, respectivamente. Portanto,
Passo 4
Por fim, agora que descobrimos os valores de , e , só nos resta integrá-los para descobrirmos os coeficientes , e da nossa solução particular. Portanto,
Percebam que não precisamos considerar as constantes da integração. Por fim, a nossa solução particular será:
E assim finalizamos a nossa questão.
Resposta
A solução complementar é:
A solução particular é: