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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

Ver Teoria
Exercício 2134567

Enunciado

Apresentar as equações em coordenadas polares:

  1. Das retas x = a , x = - a , y = a e y = - a sendo a = c o n s t a n t e
  2. Da circunferência de centro no pólo e raio a > 0
  3. Da circunferência de centro ( x 0 ,   y 0 ) e raio a > 0

Passo 1

Neste exercício temos que passar as equações de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações que vimos na teoria:

x = r . cos ⁡ θ               ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ               ( 2 )

x 2 +   y 2 = r 2       ( 3 )

Bora colocar a mão na massa!! ;)

Passo 2

a) Nesse item devemos escrever as equações das retas x = a , x = - a , y = a e y = - a em coordenadas polares. Vamos começar com a reta x = a .

Para x = a vamos substituir a expressão ( 1 )

x = a →   r . cos ⁡ θ = a

Como a é uma constante então achamos a expressão da reta em coordenadas polares:

r . cos ⁡ θ = a

Agora, para x = - a , o procedimento é o mesmo e atente que o que muda para a expressão anterior é o sinal de menos no a , então a expressão ficará no lado esquerdo igual e no lado direito com - a .

r . cos ⁡ θ = - a

Para y = a , agora, vamos utilizar a expressão ( 2 ) . Substituindo, temos:

y = a → r . sin ⁡ θ = a  

E para terminar esse item, para y = - a , teremos a expressão acima, mas com o lado direito com - a .

r . sin ⁡ θ = - a  

Passo 3

b) Devemos escrever em coordenadas polares a expressão da circunferência de centro no pólo e raio a > 0 .

Centro no pólo é o mesmo que dizer que o centro está na origem, assim, sabemos que C ( 0 ,   0 ) . E, pelo enunciado o raio é a . Quando vimos cônicas degeneradas e mesmo no colégio vimos que a equação geral de uma circunferência é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Sendo, x 0 ,   y 0 as coordenadas do centro da esfera e r o raio. CUIDADO: O r na expressão acima representa o raio da esfera e não é o mesmo r das coordenadas polares.

Assim, nossa esfera em coordenadas cartesianas fica:

x 2 + y 2 = a 2

Para passar para as coordenadas polares vamos utilizar expressão ( 3 ) , então teremos:

r 2 = a 2

Uhulll!! Mais um item pronto!!

Passo 4

c) Para terminar vamos escrever a expressão em coordenadas polares da circunferência de centro ( x 0 ,   y 0 ) e raio a > 0 .

No item anterior vimos que a expressão geral em coordenadas cartesianas de uma circunferência é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Sendo, x 0 ,   y 0 as coordenadas do centro da esfera e r o raio. Substituindo as informações que temos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = a 2

Agora, devemos usar as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) para achar a equação em coordenadas polares:

x 2 - 2 x x 0 + x 0 2 + y 2 - 2 y y 0 + y 0 2 = a 2

Substituindo as relações temos que:

r 2 - 2 r . cos ⁡ θ . x 0 +     x 0 2 - 2 r . sin ⁡ θ . y 0 + y 0 2 =   a 2

Pronto chegamos na nossa expressão, lembrando que x 0 ,   y 0 e a são constantes.

Resposta

a )     x = a → r . cos ⁡ θ = a , x = - a → r . cos ⁡ θ = - a , y = a → r . sin ⁡ θ = a ,

y = - a → r . sin ⁡ θ = - a

b )     r 2 = a 2

c )   r 2 - 2 r . cos ⁡ θ . x 0 +     x 0 2 - 2 r . sin ⁡ θ . y 0 + y 0 2 =   a 2

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