USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 26
Analise as seguintes afirmações sobre o campo
(I) .
(II) e conservativo em seu domínio.
(III) A integral de superfície de sobre qualquer a esfera de raio a é 0.
Podemos afirmar que:
a) todas as afirmações são verdadeiras.
b) apenas as afirmações (I) é (II) s ̃ao verdadeiras.
c) apenas as afirmações (I) é (III) s ̃ao verdadeiras.
d) apenas a afirmações (I) é verdadeira.
e) apenas a afirmações (II) é verdadeira.
Passo 1
Vamos analisar cada uma das afirmações:
(I) .
A divergência de um campo vetorial é definida como a soma das derivadas parciais de suas componentes em relação às coordenadas x, y e z.
No caso de
a divergência é dada por:
Realizando os cálculos, você encontrará que a divergência não é igual a 1.
Portanto, a afirmação (I) é falsa.
Passo 2
(II) e conservativo em seu domínio.
Um campo vetorial é conservativo se sua integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero.
Para verificar isso, precisamos verificar se o campo possui um potencial escalar, ou seja, se existe uma função é o gradiente de .
Calculando o rotacional de , você verá que ele é igual a zero, indicando que é um campo conservativo.
Portanto, a afirmação (II) é verdadeira.
Passo 3
(III) A integral de superfície de sobre qualquer a esfera de raio a é 0.
Para verificar isso, precisamos calcular a integral de superfície de sobre uma esfera de raio a e ver se ela resulta em zero.
No entanto, a integral de superfície dependerá do campo vetorial e da orientação da esfera em relação a .
Nesse caso, como não é um campo conservativo, a integral de superfície sobre uma esfera de raio a não será necessariamente zero.
Portanto, a afirmação (III) é falsa.
Passo 4
Resumindo:
- (I) é falsa.
- (II) é verdadeira.
- (III) é falsa.
Resposta
e) apenas a afirmação (II) é verdadeira.