USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 27
Seja S a parte do plano limitada pelo cilindro . Uma parametrização da superfície S é
Passo 1
Alou Alou galerinha, bora pra mais uma?
Para parametrizar a superfície S, precisamos encontrar uma maneira de representar as coordenadas x, y e z em termos de parâmetros u e v, que varrem intervalos específicos. Vamos analisar cada uma das opções dadas:
E eh claro que eu irei analisar todas as opções e destacar a opção correta:
- Esta parametrização leva em consideração a equação do cilindro
- A equação descreve a altura acima do plano
- Portanto, esta é a opção correta.
A opção a) apresenta a parametrização:
onde v varia de 0 a 2π e u varia de 0 a 1.
Passo 2
Continuando com a opção (a): Ao considerar essa parametrização, podemos verificar se ela satisfaz as condições da superfície S.
Primeiro, verificamos a equação do cilindro .
Substituindo as expressões para x e y na equação do cilindro:
Como u varia de 0 a 1, isso satisfaz a equação do cilindro
Agora, verificamos a equação . Substituindo as expressões para x, y e z nessa equação:
Passo 3
- Esta parametrização não leva em consideração a equação do cilindro .
- A equação descreve uma superfície plana, não a superfície descrita.
- Portanto, esta opção está incorreta.
Passo 4
- Esta parametrização não leva em consideraç��o a equação do cilindro .
- A equação descreve uma superfície plana, não a superfície descrita.
- Portanto, esta opção está incorreta.
Passo 5
- Esta parametrização leva em consideração a equação do cilindro .
- A equação não descreve a variação da altura acima do plano xy conforme especificado.
- Portanto, esta opção está incorreta.
Resposta
Portanto, após a análise, a opção correta para a parametrização da superfície S é a