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Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 23

A integral de superfície ∬ S cos ⁡ ( sin ⁡ ( z 2 ) ) d y   ∧ d z + y d y ∧ d x + x d x ∧ d y onde S é x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 e orientada com a normal exterior é

  1. 0 b) 4 π 3 c)   4 π / 6 d)   4 π 6 - 2 π e) 4 π 3 + 2 π

Passo 1

Oi galerinhaaa

Para resolver essa questão, primeiro vamos calcular a integral de superfície da função dada sobre a superfície S.

A integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície S   orientada com a normal exterior é dada pela fórmula:

∬ S F ⋅ d S =   ∬ D F r u ,   v ⋅ ( r u × r v )   d u d v ,

onde r u , v é o vetor posição da parametrização da superfície, r u   e   r v são os vetores tangentes parciais, e D é a região no plano paramétrico correspondente à superfície S

Nesse caso, a superfície S é a parte superior do cone x 2 +   y 2 =   z 2 que está acima do plano z   =   0 .

Passo 2

Portanto, podemos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície S da seguinte forma:

r r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ , r ,       0 ≤ r ≤ 1 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π

Calculamos os vetores tangentes parciais:

r r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 1 ,     r θ = ( - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ , 0 )

O produto vetorial r r × r θ nos dá a normal exterior à superfície parametrizada:

n = r r × r θ = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 1 × ( - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ , 0 )

= - r , - r , r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Normalizando o vetor n , obtemos a normal unitária exterior N

N = n n = 1 3 - 1 , - 1 , cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Passo 3

A função dada no problema é F = cos ⁡ sin ⁡ z 2 , y , x , e a parametrização da superfície S   nos dá Z = r

Substituindo os valores na função F e no vetor normal N   a integral de superfície se torna:

∬ S F ⋅ d S =   ∬ D c o s s i n r 2 ,   r s i n   θ ,   r c o s   θ ⋅ 1 3 - 1 , - 1 , cos ⁡ θ sin ⁡ θ   r d r d θ .

Agora, podemos calcular essa integral dupla sobre a região   D , que é o domínio da parametrização.

A integral sobre θ vai de 0 a   2 π , e a integral sobre r ) vai de 0   a   1

Vamos calcular as integrais:

∬ S F ⋅ d S

∫ 0 2 π ∫ 0 1 c o s s i n r 2 ,   r s i n   θ ,   r c o s   θ ) ⋅ 1 3 - 1 , - 1 , cos ⁡ θ sin ⁡ θ   r d r d θ

= 1 3   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - c o s s i n r 2 -   r s i n   θ +   r c o s   θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ )   r d r d θ

Passo 4

Note que o termo - c o s s i n r 2   é ímpar em relação a r , então sua contribuição na integral em r será zero.

O mesmo vale para o termo r s i n   θ e o termo r c o s   θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ quando integrados em r

Portanto, a integral de superfície se reduz a:

1 3   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 -   r c o s   θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ )   r d r d θ

= - 1 3   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 -   r c o s   θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ )   r d r d θ

= - 1 3   ∫ 0 2 π r 2 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 1 d θ

= - 1 2 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

= - 1 4 3 - cos 2 ⁡ θ 2 0 2 π

= - 1 4 3 - 1 2 - - 1 2

= - 1 4 3 ⋅ 0

= 0

Portanto, a resposta correta é a )   0

A integral de superfície sobre a superfície S é igual a zero.

Resposta

A integral de superfície sobre a superfície S é igual a zero.