A matemática é repleta de regras e fórmulas, e cada uma foi criada visando a facilitar a vida do ser humano. Os estudos sobre a matriz vêm desde o século e trazem uma nova experiência ao campo da matemática. Sobre as matrizes e os elementos associados, classifique para as sentenças verdadeiras e para as falsas:
( ) O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da diagonal principal.
( ) Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal.
( ) O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
( ) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
Passo 1
Analisando a primeira afirmativa:
“O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da diagonal principal.”
Que está corretíssima, veja esse exemplo:
A diagonal principal é:
Abaixo da diagonal principal temos apenas números zero e só temos números na diagonal e acima dela:
Isso significa que essa matriz é triangular superior, logo o determinante da matriz é a multiplicação entre os elementos da diagonal principal:
Então a primeira afirmativa é V!
Passo 2
A segunda afirmação:
“Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal.”
Vamos olhar um exemplo pra ver se isso se aplica:
O determinante é igual a:
Caso alteremos as linhas da matriz, vamos encontrar uma nova matriz:
O determinante da nova matriz é igual a:
Ou seja, verificamos com um exemplo que o sinal foi alterado sim! E deixa que eu te adianto que sempre que uma matriz tiver um determinante diferente de zero, então quando trocarmos duas linhas de lugar, iremos alterar o sinal, sim!
Logo a afirmativa é falsa!
Passo 3
Analisando a terceira afirmativa:
“O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.”
Essa afirmativa está corretíssima! Por exemplo:
Calculando o determinante:
Esse é só um exemplo, mas a regra é ainda mais ampla:
Se alguma linha ou coluna for múltipla de outra linha ou coluna da matriz, o determinante é zero!
Não esquece, beleza?!
Então essa afirmativa é verdadeira!
Passo 4
Agora vamos analisar a última afirmativa:
“Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.”
Vamos ver uma matriz que contradiz completamente essa ideia:
Temos essa coluna feita completamente por :
Ao mesmo tempo, olhe para a diagonal principal:
Abaixo, da diagonal principal, todos os espaços estão preenchidos, enquanto acima da diagonal principal, só temos zeros. Logo, se trata de uma matriz triangular inferior e para matrizes triangulares inferiores, o determinante é igual a multiplicação entre os elementos da diagonal principal.
Então, o determinante dessa matriz é igual a:
Que é completamente diferente de , ou seja, a afirmação é falsa!
Passo 5
Reunindo todas as análises que fizemos anteriormente:
- O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da diagonal principal. VERDADEIRO
- Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal. FALSO
- O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero. VERDADEIRO
- Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero. FALSO
Logo nossa resposta será a letra “d”!
Resposta
d)