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Exercícios Resolvidos de Distribuição Geométrica

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Exercício 61234578910111213

Enunciado

USP probabilidade P2 2017

Considere duas variáveis aleatórias 𝑋   e 𝑌   com distribuições geométricas de parametro 𝑝   . E tais que 𝑃 𝑋 = 𝑥 ∩ 𝑌 = 𝑦   =   𝑃 𝑋   =   𝑥 𝑃 𝑌 = 𝑦     ∀   𝑥 , 𝑦   . Qual o valor de 𝑃 𝑋 + 𝑌 = 𝑛

Passo 1

Fala pessoal, vamos para mais uma, Dessa vez o enunciado é bem curtinho, mas mesmo assim tem bastante informação para descompactar. Temos que:

  • 𝑋 , 𝑌   ∼   𝐺 𝑒 𝑜 𝑝 i.e 𝑃 𝑋   =   𝑥   =   1 − 𝑝 𝑥 𝑝

  • 𝑃 𝑋 = 𝑥 ∩ 𝑌 = 𝑦   =   𝑃 𝑋   =   𝑥 𝑃 𝑌 = 𝑦 ou seja 𝑋 , 𝑌   são independentes

Queremos calcular 𝑃 𝑋 + 𝑌 = 𝑛

Passo 2

Para poder calcular 𝑃 𝑋 + 𝑌 = 𝑛 precisamos usar probabilidades condicionais.

Temos que:

𝑃 𝑋 + 𝑌 = 𝑛 =   𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑌

=   ∑ 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑛 𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑌     𝑌   =   𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦

=   ∑ 𝑦 = 0 𝑦 = 1 𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑦 𝑃 𝑌   =   𝑦

O que fizemos aqui foi calcular a probabilidade da soma para valores específicos de 𝑌   , e depois somamos essas probabilidades.

Passo 3

Agora podemos trabalhar com a expressão ∑ 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑛 𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑌     𝑌   =   𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦

= ∑ 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑛 𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦 pela independência das variáveis.

⇒   ∑ 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑛 𝑃 𝑋 = 𝑛 − 𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦   =   1 − 𝑝 𝑛 − 𝑦 𝑝 ⋅ 1 − 𝑝 𝑦 𝑝

=   ∑ 𝑦 = 0 𝑛 1 − 𝑝 𝑛 𝑝 2 =   𝑛 + 1 1 − 𝑝 𝑛 𝑝 2

Resposta

=   𝑛 + 1 1 − 𝑝 𝑛 𝑝 2

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