Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de , qual é a probabilidade de .
Passo 1
Opa, temos um experimento que vai parar de ser repetido assim que acontecer o primeiro sucesso, ou seja, uma distribuição Geométrica! Nosso sucesso aqui seria o aparecimento da cara.
Mas toma muito cuidado aí para não cair na pegadinha, se liga só!
O enunciado diz para a gente que é a variável aleatória que conta o número de coroas obtidas no experimento, antes de se obter o sucesso, que seria a cara, certo?
Imagina que você lançou a moeda 4 vezes até obter a cara, ou seja, você obteve:
{Coroa, Coroa, Coroa, Cara}
Nesse caso, nossa variável aleatória assumiria o valor , mas o número de tentativas até se obter o sucesso seria 4, afinal foi necessário lançar a moeda quatro vezes até se obter a cara.
Vamos chamar esse número de tentativas até obter o sucesso de Repara então que:
Isso é o mesmo que falar que a quantidade de vezes que se lança a moeda até obter o sucesso é igual a quantidade de vezes que se obteve coroa mais uma tentativa.
E por que eu fiz tudo isso??
Por que essa variável ela parece que segue a distribuição geométrica, mas não segue não. Quem de fato segue a distribuição geométrica é a variável aleatória , pois é ela que contabiliza o número de tentativas até se obter o sucesso (que é obter a primeira cara).
Com isso, teremos:
Passo 2
Para calcular a probabilidade pedida temos que trocar a nossa variável aleatória:
E tem que se ligar que:
Já que entre maior ou igual a e menor que 5, temos o 3 e o 4. Agora temos que lembrar da função da Geométrica:
Substituindo a função para o nosso cálculo: