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Exercícios Resolvidos de Distribuição Geométrica

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Exercício 91234567810111213

Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidade P3 2017

A variável aleatória X   tem distribuição binomial com parâmetros n = 2   e   p = 1 / 2 . A variável aleatória Y   tem distribuição geométrica com parámetro p = 1 / 2   . Sabendo que X   e   Y são independentes, quanto vale P X = Y ?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações do problema.

  • X ∼ B i n 2 , 1 2
  • Y ∼ g e o 1 2
  • X   e   Y são independentes.

Queremos calcular P X = Y .

Passo 2

Fala galera, como queremos calcular P X = Y , vamos usar probabilidade condicional. Vocês lembram a definição? Vamos revisar!

A definição de probabilidade condicional é:

P A B   =   P A ∩ B P B

Vamos relembrar a lei da probabilidade total.

Sejam B 1 , … , B n uma partição de Ω então ∀   A   ∈ Ω

P A   =   ∑ i = 1 n P A B i P B i (1)

Passo 3

Agora podemos começar a calcular P X = Y

Usando (1),

P X = Y   =   ∑ i = 0 2 P X = i Y = i P Y = i

(nosso somatório só vai até 2 pois nossa binomial tem parâmetro n = 2   )

Como X   e   Y são independentes P X Y   =   P X

⇒   ∑ i = 0 2 P X = i Y = i P Y = i   = ∑ i = 0 2 P X = i P Y = i

(substituindo as probabilidades)

  = ∑ i = 0 2 2 ! i ! 2 - i ! ⋅ 1 2 i 1 2 2 - i   ⋅   1 2 i 1 2

  = ∑ i = 0 2 2 ! i ! 2 - i ! ⋅ 1 2 3   ⋅   1 2 i

(reescrevendo)

  = 1 2 3   ∑ i = 0 2 2 ! i ! 2 - i !   1 2 i

(abrindo o somatório)

  = 1 2 3   1   +   1   +   1 4

  = 1 2 3   9 4

  = 9 32

Resposta

9 32

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