Seja a equação de ordem com condições iniciais u_n' (0) = u_n (0) = 0 .

u''_n(t) + n^2 * u_n(t) = h_n(t)

Resolva esta equação, utilizando convolução para determinar a solução particular.

Passo 1

Bom, primeiramente, a gente precisar resolver o caso homogêneo.

u n ' ' t + n 2 u n t = 0

Obtemos o nosso polinômio característico:

r 2 + n 2 = 0

r = ± - n 2 = ± i n

Logo, a solução será:

u n h = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t

Passo 2

Maneiro. Agora vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que:

L y ' s = s L y - y 0 = s L y

L y ' ' s = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 = s 2 L [ y ]

Vou denotar L [ y ] por Y s , ok?! Então ficamos com:

s 2 U n ( s ) + n 2 U n s = H n s

Chamei L h n t s = H ( s ) . Isolando U n ( s ) :

U n s = H n s s 2 + n 2

E para encontrar a particular, vamos fazer a transformada inversa, ok?

u n p t = L - 1 H n s s 2 + n 2 = h n L - 1 1 n n s 2 + n 2

= h n 1 n L - 1 n s 2 + n 2 = h n 1 n sen ⁡ n t = ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

E finalmente a solução será:

u n t = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t + ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

Resposta

u n t = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t + ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplof(t) = sen(t) .
Encontre a transformada de Laplace da função dada. f ( t ) = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) c o s ( τ ) d τ
Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a tr
Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade para a convolução. ( a )f * g = g * f ( b )f * ( g 1 + g 2 ) = f * g 1 + f * g 2 ( c )f * ( g * h ) = ( f * g ) * h
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:y'' + y' + (5/4) * y = 1 - u_π(t); y(0) = 1 e y'(0) = -1