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Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

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Exercício 612345789

Enunciado

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' + y = t sen ⁡ t , y 0 = 0

Passo 1

Vamos aplicar transformada de Laplace na equação

L y ' + y = L t sen ⁡ t

L y ' + L y = L t sen ⁡ t

Lembrando que

L y ' = s L y - y 0 = s L y

Vamos fazer

L y = Y s

Para facilitar nossa vida, a EDO fica

s Y s + Y s = L t sen ⁡ t

Passo 2

Vamos fazer agora

L t sen ⁡ t

Lembrando que

L t n f t = - 1 n d n d s n L f t

E

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Vamos ter

L t sen ⁡ t = - 1 1 d d s L sen ⁡ t = - 1 1 d d s 1 s 2 + 1     →

L t sen ⁡ t = - 1 1 - 2 s s 2 + 1

2 s ( s 2 + 1 ) 2

Passo 3

A EDO ficou

s Y s + Y s = 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Isolando Y s vamos ter

Y s = 2 s ( s 2 + 1 ) 2 . 1 s + 1   →

Y s = 2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2

Passo 4

Separando isso por frações parciais:

2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2 = A s + 1 + B s + C s 2 + 1 2 + D s + E s 2 + 1   →

A s 2 + 1 2 + B s + C s + 1 + D s + E s + 1 s 2 + 1 s + 1 s 2 + 1 2     →

A s 4 + 2 s 2 + 1 + B s 2 + B s + C s + C + D s + E s 3 + s + s 2 + 1 s + 1 s 2 + 1 2   →

A s 4 + 2 A s 2 + A + B s 2 + B s + C s + C + D s 4 + D s 2 + D s 3 + D s + E s 3 + E s + E s 2 + E s + 1 s 2 + 1 2

Simplificando e juntando os termos semelhantes...

s 4 A + D + s 3 D + E + s 2 2 A + B + D + E + s B + C + D + E + A + C + E s + 1 s 2 + 1 2

Por comparação com...

Y s = 2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2

Ganhamos

A + D = 0 D + E = 0 2 A + B + D + E = 0 B + C + D + E = 2 A + C + E = 0                     →

A + D = 0 D + E = 0 2 A + B = 0 B + C = 2 A + C + E = 0

Da primeira e da segunda equação...

A = E

Da terceira e quarta...

C = 2 + 2 A = 2 + 2 E

Da última equação...

A + C + E = 0         →         E + 2 + 2 E + E = 0         →

4 E = - 2       →

E = - 1 2

Então

A = - 1 2

B = - 2 A = 1

C = 2 + 2 A = 2 - 1 = 1

D = - E = 1 2

Logo...

Y s = A s + 1 + B s + C s 2 + 1 2 + D s + E s 2 + 1

Y s = - 1 2 ⋅ 1 s + 1 ⏟ I + s + 1 s 2 + 1 2 ⏟ I I + 1 2 ⋅ s - 1 s 2 + 1 ⏟ I I I

Vamos agora calcular a transformada inversa de cada um desses termos!

Passo 5

A primeira I é bem tranquila: é a transformada de 1 deslocada em 1 unidade.

L - 1 1 s + 1 t = e - t

Passo 6

A segunda I I é um pouco mais trabalhosa e vamos dividir em dois passos. Primeiro desmembremos:

s + 1 s 2 + 1 2 = s s 2 + 1 s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 2

Nesse passo, vamos nos preocupar com a Laplace inversa desse termo:

s s 2 + 1 ⋅ 1 s 2 + 1

Como sabemos a Laplace inverso desses dois termos do produto:

L - 1 s s 2 + 1 t = cos ⁡ t                                 e                                 L - 1 1 s 2 + 1 t = sin ⁡ t

Vamos aplicar a regra do produto para encontrar a Laplace inversa desse produto. De acordo essa “regra” a Laplace inversa do produto é a convolação das Laplaces inversas:

L - 1 s s 2 + 1 ⋅ 1 s 2 + 1 t = ∫ 0 t cos ⁡ t - τ ⋅ sin ⁡ τ d τ

Para calcular essa integral, façamos:

cos ⁡ t - τ = cos ⁡ t cos ⁡ τ + sin ⁡ t sin ⁡ τ

Então...

∫     cos ⁡ t - τ ⋅ sin ⁡ τ d τ = ∫     ( cos ⁡ t cos ⁡ τ + sin ⁡ t sin ⁡ τ ) ⋅ sin ⁡ τ d τ

∫     ( cos ⁡ t cos ⁡ τ sin ⁡ τ + sin ⁡ t sin 2 ⁡ τ ) d τ =

cos ⁡ t ∫     cos ⁡ τ sin ⁡ τ d τ + sin ⁡ t ∫     sin 2 ⁡ τ d τ =

Em relação a essa primeira integral, podemos resolvê-la fazendo a mudança:

cos ⁡ τ = x         →              

d x = - sin ⁡ τ d τ         o u           sin ⁡ τ d τ = - d x  

∫     cos ⁡ τ sin ⁡ τ d τ = - ∫     x d x = - x 2 2 = - cos ⁡ τ 2 2

Já essa segunda integral, podemos resolvê-la lembrando de que...

sin 2 ⁡ τ = 1 - cos ⁡ 2 τ 2

∫     sin 2 ⁡ τ d τ = ∫     1 2 - cos ⁡ 2 τ 2 d τ = 1 2 τ - sin ⁡ 2 τ 4

Então ficamos com o seguinte:

cos ⁡ t ∫     cos ⁡ τ sin ⁡ τ d τ + sin ⁡ t ∫     sin 2 ⁡ τ d τ = cos ⁡ t - cos ⁡ τ 2 2 + sin ⁡ t 1 2 τ - sin ⁡ 2 τ 4

Aplicando os Limites de integração da integral da convolução:

cos ⁡ t - cos ⁡ τ 2 2 + sin ⁡ t 1 2 τ - sin ⁡ 2 τ 4 0 t =

cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t 2 + sin ⁡ t 1 2 t - sin ⁡ 2 t 4 - cos ⁡ t - cos ⁡ 0 2 2 + sin ⁡ t 1 2 ⋅ 0 - sin ⁡ 0 4 =

E simplificando...

cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t 2 + 1 2 t sin ⁡ t - 2 sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t 4 + cos ⁡ t 2 =

cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t 2 + 1 2 t sin ⁡ t - cos ⁡ t ⋅ sin 2 ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 =

cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t 2 + 1 2 t sin ⁡ t - cos ⁡ t ⋅ sin 2 ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 =

cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t 2 - sin 2 ⁡ t 2 + 1 2 t sin ⁡ t + cos ⁡ t 2 =

- cos ⁡ t 2 + 1 2 t sin ⁡ t + cos ⁡ t 2 =

1 2 t sin ⁡ t

Passo 7

Para concluir, temos a Laplace inversa desse termo que sobrou:

L - 1 1 s 2 + 1 2 t = 1 2 sin ⁡ t - 1 2 t cos ⁡ t

Podemos encontrar esse cara repetindo as continhas. Não vou fazer isso, pois agora que você já sabe fazer, eu vou te dar uma dica: memoriza para a sua prova. Afinal, embora você saiba de onde veio, você não terá tempo para fazer esse monte de conta! ;)

Logo, a transformada de Laplace Inversa da I I é:

L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 t = 1 2 sin ⁡ t + 1 2 t ⋅ sin ⁡ t - 1 2 t cos ⁡ t

Passo 8

Quanto à transformada inversa da terceira I I I :

L - 1 s - 1 s 2 + 1 t = L - 1 s s 2 + 1 t - L - 1 1 s 2 + 1 t     →

L - 1 s - 1 s 2 + 1 t = cos ⁡ t - sin ⁡ t

Passo 9

Concluímos então que...

Y s = - 1 2 ⋅ 1 s + 1 ⏟ I + s + 1 s 2 + 1 2 ⏟ I I + 1 2 ⋅ s - 1 s 2 + 1 ⏟ I I I       →

y t = L - 1 Y s = - 1 2 ⋅ e - t + 1 2 sin ⁡ t + 1 2 t ⋅ sin ⁡ t - 1 2 t cos ⁡ t + 1 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t       →

y t = L - 1 Y s = - 1 2 ⋅ e - t + 1 2 t sin ⁡ t - cos ⁡ t + 1 2 cos ⁡ t   →

y t = L - 1 Y s = 1 2 - e - t + t sin ⁡ t - cos ⁡ t + cos ⁡ t

Resposta

y t = 1 2 - e - t + t sin ⁡ t - cos ⁡ t + cos ⁡ t

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