Encontre a função que satisfaz a seguinte equação:
Sabendo que .
Passo 1
Ok, essa equação parece muito estranha quando olhamos de primeira, né? Mas dá uma olhada nessa integral, repare que:
Reconheceu o integral de convolução? Certo, agora como fazemos ela desaparecer?
Vamos chamar esse produto de :
Se é igual ao produto de convolução, então, sabemos que:
O processo inverso ao que fizemos nos outros exercícios.
Bom, disso, concluímos que:
Assim as coisas já ficam um pouco melhores, não é? Conseguimos desaparecer com a integral aplicando Laplace nela.
Passo 2
Vamos, então, aplicar Laplace na equação toda, para manter a igualdade, ok?
Passo 3
Agora nós vamos tentar isolar , para conseguirmos, a partir disso, , que é o que o problema pede.
Vamos escrever em função de :
Com o problema diz que
Passo 4
Agora precisamos reescrever essa expressão em frações parciais, para tentar reconhecer .
Como é uma raiz múltipla, teremos o seguinte:
Repare que os numeradores tem um grau a menos que a raiz dos denominadores, no caso, para todos eles. Como tem grau , os numeradores são todos constantes (grau ).
Beleza, agora vamos juntar essas frações para descobrir o valor de , , e .
Podemos dizer então
Logo, temos o seguinte:
Passo 5
Agora vamos reconhecer as funções que tem essas frações que encontramos como transformada. Nós sabemos o seguinte:
Logo, podemos escrever
O que nos dá