Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Vamos aplicar a transformada de Laplace á EDO:
Aplicando a propriedade da transformada da derivada:
Temos
Passo 2
Agora vamos substituir as condições iniciais e isolar . Temos , .
Passo 3
Agora precisamos reconhecer pela sua transformada. Já vemos que a segunda fração é uma transformada de cosseno e a terceira de seno. Temos o seguinte:
Substituindo na expressão, temos:
Faltou a primeira fração, não é? Como nem sabemos a expressão de , não tem jeito, temos que usar convolução aqui. Vamos chamar essa parte que sobrou de , olha só:
Assim, podemos dizer que
Para calcular esse produto, usamos sua definição:
Portanto, temos o seguinte:
Podemos dizer então: