Calculo 3 – UNICAMP – Exame
Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma questão de PVI para ser resolvida através da Transformada de Laplace. E, para nossa alegria, a própria prova já nos fornece uma tabela com as transformadas!!!
Podem comemorar, que lembrar dessa tabela é a pior parte da questão!! Uhuu.
Agora, vamos começar aplicando a transformada de laplaca nos dois membros da nossa EDO. Portanto,
E como a transformada é uma aplicação linear, a gente pode separa o termo em . Depois, podemos colocar os coeficientes que multiplicam para fora da nossa transformada.
Já em relação ao segundo membro, vamos deixar ele assim por enquanto. Sendo assim, temos:
E essa é a primeira parte da questão!
Passo 2
Agora é o momento de usarmos a tabela. Lembrando, temos que indicar todas as relações que utilizarmos com a numeração da tabela (a questão pediu, a gente faz!).
Então, primeiramente, vamos lembrar que . Portanto, utilizando a propriedade 18, temos:
Já para , temos . Também pela propriedade 18, temos:
Agora, para , basta lembrarmos que . Portanto, pela propriedade 15, temos:
E com isto, o nosso primeiro membro será:
E como e , temos:
Passo 3
Agora temos que transformar o segundo membro da nossa equação. Para isto, teremos um trabalho aqui. Vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace primeiramente. Portanto,
Primeiro, pela propriedade 17, temos . Logo,
Aplicando a definição do delta de Dirac, temos:
E portanto, a nossa equação será:
Passo 4
Antes de podermos aplicar as transformadas inversas, nas nossas funções, vamos dar uma reorganizada nelas. A começar pelo denominador das funções. Assim, temos:
Portanto,
Reorganizando mais um pouco o numerador do termo (isso é fundamental para que a gente consiga utilizar as propriedades 9 e 10 da tabela!!!!), teremos:
Agora, temos que fazer um processo bem semelhante com o que fizemos no Passo 2. Precisamos fazer a transformada inversa de Laplace.
Então, Vamos começar aplicando a transformada inversa e separando os termos. Logo,
Passo 5
Estamos quase finalizando a nossa questão! Só precisamos agora aplicar relacionar as nossas inversas com a nossa tabela de transformadas.
Sendo assim, vamos começar pelo mais fácil, por . Pela propriedade 15, temos:
Já no segundo membro, vamos ver da direita para esquerda. Para , basta aplicarmos a propriedade 9, quando e . Com isto, teremos:
Agora, para , vamos utilizar a propriedade 10, também com e . Só que, agora, ao invés de seno, teremos cosseno agora! Portanto,
Por fim, temos . Aqui é um pouco mais complicado, pois precisamos trabalhar com uma função degrau. Para funções deste tipo (propriedade 13), temos:
Vamos comparar a nossa função que queremos a transformada inversa com o segundo membro da equação acima. Temos:
Comparando, temos , logo, e .
Para , pela propriedade 9, que aplicamos anteriormente, temos:
Desta forma, a função que aplicamos a transformada inversa será:
E então,
E a solução do nosso PVI será: