Uma coluna de concreto com uma seção transversal de está submetida a uma compressão de .
Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação no concreto.
Dados:
Passo 1
A coluna de concreto possui uma área de seção transversal e um módulo e elasticidade .
Além disso, como a única força na coluna é a compressão de , vamos ter na coluna uma força interna normal .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber a densidade de energia de deformação na coluna.
Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que vai ser dado pela fórmula:
Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke para substituir a deformação e a fórmula da tensão normal média para substituir a tensão .
Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para em função de valores que conhecemos!
Passo 2
Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação para um material que está seguindo a Lei de Hooke:
Da Lei de Hooke , temos que .
Fazendo essa substituição, encontramos que:
Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:
E pronto! Temos uma expressão para em função de valores que conhecemos!
Passo 3
Substituindo os valores de , e na expressão anterior, temos:
A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades , que é o mesmo que .
Dessa forma, vamos ter como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos como unidade na parte inferior.
Sendo assim, o resultado da conta vai sair em !
Calculando tudo, encontramos que:
Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em :
Passo 4
Poderiamos terminar o exercício por aqui.
Mas ainda temos uma coisa para fazer: como é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de em uma unidade de energia sobre volume.
(A unidade atual do nosso resultado para é , que é uma unidade de tensão!)
Então vamos pensar...
Multiplicando em cima e em baixo por , isso fica assim:
Mas é o mesmo que joule, então:
Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em , em :
E assim temos a nossa resposta: