A estrutura abaixo suporta um peso em sua ponta e é sustentada pelo cabo de aço , que forma um ângulo com a horizontal. Considerando que o cabo de aço possuí uma área de seção transversal e que ele se comporta de acordo com a Lei de Hooke, possuindo um módulo de elasticidade , determine:

a força de tração no cabo em função do ângulo ;

o valor de para o qual a força é mínima;

& a densidade de energia de deformação no cabo quando é mínima.

Começando pelo item :

Para encontrar a força em função do ângulo , vamos ter que observar o Diagrama de Corpo Livre da estrutura :

E aplicar as condições de equilíbrio para essa estrutura.

Então vamos pensar...

A condição de equilíbrio que nos permite encontrar sem que a gente tenha que se preocupar em calcular as reações no apoio em ( e ) vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :

Em relação ao ponto , já conseguimos ver que o peso vai gerar um momento no sentido horário () com um braço .

Quanto a força , fica difícil visualizar o braço do momento que ela vai gerar uma vez que ela é uma força inclinada.

Para facilitar nossa vida, podemos decompor em uma componente horizontal e uma componente vertical :

Pensando assim, vamos ter que, em relação ao ponto :

• A força vai gerar um momento no sentido anti-horário () com um braço ;
• E a força vai gerar outro momento no sentido anti-horário (), mas com um braço .

Agora que entendemos como vão ficar os momentos em relação ao ponto , podemos fazer o somatório de momentos, que fica assim:

Dividindo tudo por e passando para o outro lado, temos que:

Substituindo e :

Tirando em evidência:

Finalmente, isolando encontramos que:

E assim está resolvido o item !

Agora, no item , temos que analisar para qual valor de a força abaixo vai ser mínima:

Bom, essa força vai ser mínima quando a expressão “” que está dividindo ela for máxima.

Agora, lá em cálculo nós vimos que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.

Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de que satisfaz ela:

Sabendo que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, essa derivada fica assim:

Passando para o outro lado, temos que:

Dividindo tudo por , encontramos que:

O que significa que:

O ângulo que possui tangente igual à é o ângulo de , então temos que:

Ou seja, podemos dizer que a força é mínima quando !

Finalmente, para o item , vamos precisar da tensão normal média no cabo de aço para podermos encontrar a densidade de energia de deformação .

Para encontrar , vamos primeiro encontrar o valor da força mínima, e, em seguida, encontrar a tensão normal média correspondente.

Aplicando a fórmula que encontramos para no item , temos que:

Substituindo :

Como e :

Simplificando essa expressão, ela fica assim:

Ou seja:

Simplificando mais uma vez, finalmente encontramos que:

Ou seja, a força mínima no cabo de aço ocorre quando e é igual a .

Além disso, como a força é a força de tração no cabo, vamos ter que a força interna normal no cabo vai ser igual a , ou seja:

E essa força normal vai gerar uma tensão normal média no cabo de aço:

Agora que conhecemos o valor da tensão normal média no cabo quando a força é mínima, podemos calcular a densidade de energia de deformação no cabo nesse caso.

Da fórmula da densidade de energia de deformação , temos que:

Nós não conhecemos a deformação no cabo, mas sabemos que o cabo está seguindo a Lei de Hooke , de tal forma que:

Fazendo essa substituição na fórmula de , encontramos que:

Substituindo o valor encontrado para a tensão normal média :

O que nos dá a resposta para o item :