Exercícios Resolvidos de Equação de Continuidade

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Enunciado

A água escoa através de um tubo que possui uma redução responsável por reduzir o diâmetro para 70 % do seu tamanho inicial.

Se a velocidade da água na seção maior do tubo é de 20   m / s , qual será a sua velocidade nesta seção menor?

Passo 1

Quase terminando em galerinha, forçaa!!

O que temos é o seguinte, um fluido está escoando sobre um tubo com diâmetro grande, D 1 , até que ocorre uma redução de 70 % desse diâmetro D 2 .

Vamos escrever essa relação entre os diâmetros. Lembrando que podemos escrever qualquer porcentagem como uma divisão por 100 , então

70 % = 70 100 = 0,70

Show! Agora sabemos como escrever em “matematiques” que o diâmetro D 2 fica 70 % do diâmetro D 1

D 2 = 0,7 D 1

Vamos guardar essa relação que vai ser importante!

Passo 2

Bom, se queremos achar a velocidade na seção menor podemos usar a equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Isolando a velocidade neste ponto 2 , a área A 2 vai para o outro lado dividindo:

v 2 = A 1 v 1 A 2

A área da secção transversal do cilindro é dada por:

A 1 = π r 1 2 = π D 1 2 2

A 2 = π r 2 2 = π D 2 2 2

Chegou o momento de usar aquela relação das diagonais que encontramos no passo 1 !

A 2 = π 0,7 D 1 2 2

Substituindo essas áreas na fórmula que encontramos para a velocidade v 2

v 2 = π D 1 2 2 v 1 π 0,7 D 1 2 2

Nossa, essa relação ficou feia demais! hehe. Mas podemos fazer umas simplificações. Repare que tem um π em cima e em baixo, podemos cortar e elevar todo mundo que está dentro dos parênteses ao quadrado

v 2 = D 1 2 4 v 1 0,7 2 D 1 2 4

Bem... ainda não ajudou muito, né!? Mas ainda dá para cortar mais coisas aí. Vamos linchar aquele D 1 2 4 que está em cima e em baixo

v 2 = v 1 0,7 2

Olha como ficou mais bonito, dá até um alívio no coração, não é? Vamos só elevar aquele 0,7 ao quadrado agora

v 2 = v 1 0,49

Passo 3

Sabemos também que a velocidade no ponto 1 é:

v 1 = 20 m s

Então:

v 2 = 20 m s 0,49

v 2 = 40,8 m s

O que acharam desta?!

Resposta

v 2 = 40,8 m s