Exercícios Resolvidos de Equação de Continuidade

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Enunciado

Uma mangueira de diâmetro de 2   c m é usada para encher um balde de 20   l i t r o s .

  1. Se leva 1 m i n u t o para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira?
  2. Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5   m m , e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira?

Passo 1

Vamos começar mais umaa bem legal?

Beleza então!!

A letra (a) quer saber qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira, certo?

Para calcular a velocidade nós podemos usar uma fórmula, não é?

Se lembram qual?

Q 1 = A 1 v 1

Para isolar a velocidade, a área passa para o outro lado dividindo:

v 1 = Q 1 A 1

Então nós só precisamos descobrir a área e a vazão e pronto!

A área da secção transversal dos cilindros é calculada como:

A 1 = π r 2 = π D 2 2

em que r é o raio da seção transversal e D é o diâmetro. O problema já nos disse que:

D = 2   c m

Então:

A 1 = π 2   c m 2 2 = π   c m 2

Só precisamos achar a velocidade!!

O problema não disse qual é a velocidade, mas disse que a mangueira é capaz de encher um balde de 20   L em 1   m i n u t o , isso já é uma velocidade não é?

Então:

Q 1 = 20 L m i n

Mas o negócio aqui é o seguinte, nós precisamos que tudo esteja em cm e em segundos! Então precisamos transformar L em c m ³ e minutos em segundos, se lembram da transformação:

1   L = 10 3 c m 3

1   m i n = 60   s

Então, vamos substituir:

Q 1 = 20 × 10 3   c m 3 60   s = 333,3 c m 3 s

Shooow de bolinhas!! Agora sim nós estamos armados para o cálculo da velocidade

v 1 = Q 1 A 1

v 1 = 333,3 c m 3 s π   c m 2

v 1 = 106,1 c m s

E assim finalizamos a letra (a)!!

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos achar qual é a velocidade com que a água sai da mangueira, depois que seu diâmetro se reduz para 5   m m , certo?

Segundo a equação da continuidade, a vazão que entra em uma parte da magueira deve ser igual à vazão que sai:

Q 1 = Q 2 = A 2 v 2

Como queremos a velocidade, vamos passar a área para o outro lado da igualdade dividindo:

v 2 = Q 1 A 2

Da letra (a) nós já sabemos que:

Q 1 = 333,3 c m 3 s

Então, temos só que achar a nova área!!

Lembrando que a área para o cilindro é dada por

A 2 = π D 2 2

O problema já nos disse que

D = 5   m m = 0,5   c m

Então

A 2 = π D 2 2

A 2 = π 0,5   c m 2 2 = 0,196   c m 2

E agora vamos substituir na equação que achamos?

v 2 = Q 1 A 2

v 2 = 333,3 c m 3 s 0,196   c m 2

Observe as unidades. Podemos cortar dois c m da parte de cima com os dois c m da parte de baixo. Aí vai sobrar apenas um c m na parte de cima e o s

v 2 = 1 700,5 c m s

E assim nós chegamos ao fim de mais uma questão!!

Resposta

  1. v 1 = 106,1 c m s
  2. v 2 = 1 700,5 c m s