USP, Álgebra Linear 1 – PREC – 2017 – Questão 5
Considere o sistema linear
nas incógnitas reais e . Denote por o conjunto dos números reais para os quais o conjunto das soluções desse sistema é descrito usando-se duas variáveis livres. Assinale a alternativa correta:
- possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a e o outro maior do que ;
- é vazio;
- possui um único elemento e esse elemento é maior do que ;
- possui um único elemento e esse elemento é menor ou igual a ;
- possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a e o outro maior do que .
Passo 1
Fala aí, pessoal! Como vocês estão? Se liga no que essa questão tá pedindo pra gente: ela quer que o conjunto de soluções do sistema seja descrito usando duas variáveis livres. Mas o que significa isso exatamente?
Olha só! O sistema que a questão nos deu tem incógnitas, mas só equações. Ou seja, já é impossível determinarmos uma solução única pra esse sistema, porque teríamos que ter mais uma equação. Em outras palavras, uma das variáveis já vai ser livre de certeza!
Mas a gente quer duas variáveis livres, não só uma, né? Como proceder? Bom... a gente precisa se livrar de mais uma equação hahah. Porque pensa só: com só duas equações, dá pra gente isolar duas variáveis, uma em cada equação, e essas vão ser as nossas variáveis dependentes. Com duas variáveis dependentes e quatro incógnitas no total, temos variáveis livres! Exatamente o que o enunciado quer.
Vamos tentar ilustrar isso na prática pra ficar mais claro, ok? Vamos pegar as duas primeiras equações do nosso sistema:
Isolando na primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação, temos:
Agora substituindo essa expressão de volta na equação de isolado:
Ora ora, veja então o que a gente conseguiu com esse processo de isolar uma variável em cada equação:
Talvez agora você esteja pensando “tá, e daí? Não só reescreveu de outra forma?” Mas não! Nesse novo formato, a gente pode escolher qualquer valor que a gente quiser para as variáveis e, em seguida, as equações acima determinam quais devem ser os valores de que satisfazem o sistema. Em outras palavras:
- são variáveis livres;
- são variáveis dependentes.
Ficou mais claro agora o que eu quis dizer ali em cima com “com só duas equações, dá pra gente isolar duas variáveis, uma em cada equação, e essas vão ser as nossas variáveis dependentes”?
Pois bem, mas esse exemplo foi só hipotético para a gente entender melhor o que estamos fazendo. E agora você deve estar com uma cara bem assim:
“Como assim hipotético se você usou exatamente as equações da nossa questão?” Ótima pergunta! É hipotético porque a gente não usou a terceira equação. E qualquer solução do nosso sistema deve satisfazer não apenas as duas primeiras equações, mas também a terceira!
Mas veja bem: esse exemplo hipotético já nos deu o caminho das pedras! Como vimos nele, a gente precisa ter duas equações pra ter as tais duas variáveis livres que o enunciado quer, certo? Então, o que a gente vai precisar fazer é verificar se existe algum valor de que faça com que a terceira equação do nosso sistema seja combinação linear das duas primeiras! Porque se ela for combinação linear, então qualquer solução que satisfaça as duas primeiras automaticamente satisfaz a última e a gente teria a solução que já vimos no nosso exemplo hipotético. Show?
Passo 2
Já entendemos então que a nossa estratégia consiste em verificar se existe um que torne a terceira equação do nosso sistema combinação linear das duas primeiras. Vamos fazer isso usando nosso famoso e velho amigo: escalonamento!
Bora lá. A matriz aumentada do sistema fica:
Agora, vamos fazer as duas seguintes operações elementares:
- Multiplicar por a primeira linha e somar com a segunda ();
- Multiplicar por a primeira e somar com a terceira ().
Feito isso, temos:
Agora, pra terminar, vamos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira ():
E agora? Nosso escalonamento tá prontinho e, para que a terceira equação seja combinação linear das outras duas, ela deveria zerar toda no processo. Como ali ela tá toda em função de , a gente pode agora verificar qual (ou quais) valor(es) de garantem pra gente que isso aconteça. Certo?
Bom, para que dê zero, precisamos ter:
Mas para que dê zero, precisamos ter:
Agora, como que pode ser e ao mesmo tempo?? Não dá né! Então já dá pra gente ver então que o nosso problema não tem solução :(
Ou seja, a resposta certa é a letra (b)! O conjunto dos valores de que fazem com que o sistema tenha um conjunto de soluções descrito por duas variáveis livres é simplesmente vazio, já que o problema não tem solução.
Ficou decepcionado? Pois eu fiquei hahah. Tanto trabalho para o conjunto ser vazio! Mas não desanima e vamos juntos para mais uma questão!
Resposta
(b) é vazio;