UTFRP – 2018.1 – Geometria Analítica e Álgebra Linear - Recuperação
- Considerando as retas e
- Determine o valor de para que as retas sejam coplanares.
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!Esse problema nos deu duas equações de reta parametrizadas do tipo:
Nesse tipo de equação é o vetor paralelo à reta e é um ponto pertencente à reta, beleza? As retas que o problema nos deu são:
Para essas duas retas serem coplanares elas têm que ser paralelas ou concorrentes.Mas, como podemos verificar isso? Então vamos ver os vetores paralelos de cada reta (é só ver quem multiplica em cada componente):
Com esses caras e as equações da reta vamos ver se as retas são paralelas ou concorrentes (um primeiro teste para ver se as retas são concorrentes é ver se elas são perpendiculares entre si). Em um desses casos a gente vai se deparar com uma equação para e aí a gente encontra esse cara, ok?Então partiu!!
Passo 2
Vamos começar vendo se as retas são perpendiculares e, por consequência, são concorrentes.
Para as retas serem concorrentes, elas precisam ter um ponto em comum. Ou seja, precisamos que:
Mas cuidado aqui, esses parâmetros são diferentes para cada reta. Então, o melhor mesmo é nos reescrevermos essa equação como:
Agora sim 😊. Precisa existir um valor de e que façam essa igualdade acontecer em um ponto. Assim, é só resolvermos um sisteminha linear, olha:
Para isso acontecer, os vetores paralelos às retas têm que ser perpendiculares entre sim.Uma forma simples de ver isso é que o produto escalar entre esses vetores têm que ser nulo. Lembrando que o produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos de suas componentes, temos:
Como esse produto tem que ser igual a zero temos:
Resolvendo para temos:
Como já encontramos o na primeira hipótese, nem precisamos ver a outra!!
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?