Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Enunciado

Dada a reta r :   y = 4 x - 1 z = x + 2 , dê sua equação paramétrica (com parâmetro t ) e determine o t que leva a reta aos seguintes pontos:

a) ponto ( 2 ,   7 ,   4 )

b) origem

Passo 1

Antes de tudo, vamos parametrizar a reta beleza?

Somando as duas equações:

y + z = 5 x + 1

Humm, vamos isolar o y pode ser? Mas se você quiser pode isolar o x ou o z também hehe

y = 5 x - z + 1

Da segunda equação, temos que z = x + 2 , vamos substituir isso na equação acima:

y = 5 x - x + 2 + 1

y = 5 x - x - 2 + 1

y = 4 x - 1

Passo 2

Beleza, agora chegou a hora de igualar a um vetor genérico. Temos que

x ,   y ,   z = ( x ,   4 x - 1 ,   x + 2 )

(repare que escrevemos y e z em função de x para igualarmos. Isso significa que x será o nosso parâmetro).

Separando os x ' s em um vetor e os números em outro:

x ,   y ,   z = x ,   4 x ,   x + ( 0 ,   - 1 ,   2 )

Agora vamos tirar o x pra fora:

x ,   y ,   z = x 1 ,   4 ,   1 + ( 0 ,   - 1 ,   2 )

Transformando x em um parâmetro t , como pede o enunciado:

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 ,   2 + t ( 1 ,   4 ,   1 )

Aeee, parametrizamos nossa reta :D Agora vamos pros próximos passos!

Passo 3

a) Queremos saber em qual valor do parâmetro t a nossa reta vai passar pelo ponto ( 2 ,   7 ,   4 ) certo? Primeiro, vamos achar um ponto genérico da nossa reta, pra isso, temos que primeiro multiplicar o vetor parametrizado pelo parâmetro, assim:

0 ,   - 1 ,   2 + ( 1 t ,   4 t ,   1 t )

Agora, vamos somar tudo. Assim, um ponto genérico da nossa reta (ou seja, qualquer ponto dela pode ser escrito assim para diferentes valores de t ) é:

( 1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t )

Agora bora igualar esse ponto genérico ao ponto que queremos:

1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t = ( 2 ,   7 ,   4 )

Igualando cada coordenada, temos:

1 t = 2   ( i )

- 1 + 4 t = 7   ( i i )

2 + t = 4   ( i i i )

Em ( i ) , temos que t = 2 . Mas precisamos substituir isso em ( i i ) e ( i i i ) também para termos certeza que esse ponto existe na reta:

- 1 + 4.2 = 7 → 7 = 7

2 + 2 = 4 → 4 = 4

Boaaa, procede pras duas equações, logo, realmente com t = 2 temos o ponto desejado :D

Passo 4

b) Aqui, o esquema é o mesmo do passo anterior, vamos igualar o ponto genérico à origem, ou seja, ( 0 ,   0 ,   0 ) :

1 t ,   - 1 + 4 t ,   2 + t = ( 0 ,   0 ,   0 )

Igualando as primeiras coordenadas, temos que 1 t = 0 .

Mas se igualarmos as segundas e as terceiras coordenadas e então substituirmos t = 0 , teremos

- 1 + 4.0 = 0   ( f a l s o )

2 + 0 = 0   ( f a l s o )

Poxa, então a origem não pertence à reta, pois não existe um t tal que o ponto genérico da reta se iguale a ( 0 ,   0 ,   0 ) :/

Resposta

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 ,   2 + t ( 1 ,   4 ,   1 )

a) t = 2

b) A reta não passa pela origem.