Dada a reta , dê sua equação paramétrica (com parâmetro ) e determine o que leva a reta aos seguintes pontos:
a) ponto )
b) origem
Passo 1
Antes de tudo, vamos parametrizar a reta beleza?
Somando as duas equações:
Humm, vamos isolar o pode ser? Mas se você quiser pode isolar o ou o também hehe
Da segunda equação, temos que , vamos substituir isso na equação acima:
Passo 2
Beleza, agora chegou a hora de igualar a um vetor genérico. Temos que
(repare que escrevemos e em função de para igualarmos. Isso significa que será o nosso parâmetro).
Separando os em um vetor e os números em outro:
Agora vamos tirar o pra fora:
Transformando em um parâmetro , como pede o enunciado:
Aeee, parametrizamos nossa reta :D Agora vamos pros próximos passos!
Passo 3
a) Queremos saber em qual valor do parâmetro a nossa reta vai passar pelo ponto certo? Primeiro, vamos achar um ponto genérico da nossa reta, pra isso, temos que primeiro multiplicar o vetor parametrizado pelo parâmetro, assim:
Agora, vamos somar tudo. Assim, um ponto genérico da nossa reta (ou seja, qualquer ponto dela pode ser escrito assim para diferentes valores de ) é:
Agora bora igualar esse ponto genérico ao ponto que queremos:
Igualando cada coordenada, temos:
Em , temos que . Mas precisamos substituir isso em e também para termos certeza que esse ponto existe na reta:
Boaaa, procede pras duas equações, logo, realmente com temos o ponto desejado :D
Passo 4
b) Aqui, o esquema é o mesmo do passo anterior, vamos igualar o ponto genérico à origem, ou seja, :
Igualando as primeiras coordenadas, temos que .
Mas se igualarmos as segundas e as terceiras coordenadas e então substituirmos , teremos
Poxa, então a origem não pertence à reta, pois não existe um tal que o ponto genérico da reta se iguale a :/
Resposta
a)
b) A reta não passa pela origem.