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Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Exercício 712345689101112

Enunciado

Determine a parametrização para o plano (em R 3 ):

a   x + y - z = 2

Determine uma parametrização para as retas (em R 3 )

b   z - x = 1 x + y + z = 0

c   x + y = 1 x - y = 1

Passo 1

Letra ( a )

Como temos uma equação, vamos ter que isolar alguma variável, no caso, irei isolar o z :

z = x + y - 2 ⇒

x , y , z = x , y , x + y - 2 = 0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ⇒

0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

Passo 2

Letra ( b )

Para começar devemos resolver o sistema achando as soluções:

z - x = 1 ⇒ z = 1 + x x + y + z = 0 ⇒ x + y + 1 + x = 0 ⇒ y = - 2 x - 1

x , y , z = x , - 2 x - 1,1 + x = 0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1

Assim a parametrização é:

0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

Letra ( c )

Repetindo os mesmos passos da letra ( b ) :

x + y = 1 ⇒ x = 1 - y ⇒ x = 1 x - y = 1 ⇒ 1 - y - y = 1 ⇒ - 2 y = 0 ⇒ y = 0

Ihhh, então só vai dar um ponto?? Não!!!! Não se esqueça do z que não apareceu no sistema:

x , y , z = 1,0 , z = 1,0 , 0 + z 0,0 , 1

Assim a parametrização é:

1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R

Resposta

a   0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y ∈ R

b   0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x ∈ R

c   1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z ∈ R