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Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Exercício 412356789101112

Enunciado

Dado o plano π :   x + 2 y + 4 z + 3 = 0 , dê sua equação paramétrica (com parâmetros s = y e t = z ) e determine o s e o t que levam o plano ao ponto ( 1 ,   4 ,   - 3 ) .

Passo 1

Vamos parametrizar esse plano.

Isolando o x (já que o enunciado fala que y e z serão nossos parâmetros)

x = - 2 y - 4 z - 3

Agora vamos igualar a ( x ,   y ,   z ) :

x ,   y ,   z = ( - 2 y - 4 z - 3 ,   y ,   z )

(repara que como se trata de um plano, temos 2 parâmetros: y e z )

Separando y , z e os números:

x ,   y ,   z = - 2 y ,   y ,   0 + - 4 z ,   0 ,   z + ( - 3 ,   0 ,   0 )

Tirando os parâmetros pra fora:

x ,   y ,   z = - 3 ,   0 ,   0 + y - 2 ,   1 ,   0 + z ( - 4 ,   0 ,   1 )

Agora vamos transformar em parâmetros: s = y e t = z

x ,   y ,   z = - 3 ,   0 ,   0 + s - 2 ,   1 ,   0 + t ( - 4 ,   0 ,   1 )

E temos nossa equação parametrizada :)

Passo 2

Beleza, agora queremos encontrar o s e o t que fazem o plano passar pelo ponto ( 1 ,   4 ,   - 3 ) . Antes, vamos encontrar um ponto genérico do plano:

( - 3 ,   0 ,   0 ) + - 2 s ,   1 s ,   0 + ( - 4 t ,   0 ,   1 t )

( - 3 - 2 s - 4 t ,   s ,   t )

Passo 3

Boa, agora é só igualar com o ponto desejado:

- 3 - 2 s - 4 t ,   s ,   t = ( 1 ,   4 ,   - 3 )

Igualando as coordenadas:

- 3 - 2 s - 4 t = 1   ( i )

s = 4   ( i i )

t = - 3   ( i i i )

Passo 4

Das equações ( i i ) e ( i i i ) já temos os valores de s e t , agora vamos substituí-los na equação ( i ) e ver se procede para todas as coordenadas:

- 3 - 2.4 - 4 . - 3 = 1

- 3 - 8 + 12 = 1

1 = 1

Aeee, isso significa que o ponto ( 1 ,   4 ,   - 3 ) realmente pertence a esse plano e que o plano passa por ele quando s = 4 e t = - 3 ;)

Resposta

x ,   y ,   z = - 3 ,   0 ,   0 + s - 2 ,   1 ,   0 + t ( - 4 ,   0 ,   1 )

s = 4 e t = - 3