Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P3 – Questão 2
Qual o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro de uma variável aleatória de Bernoulli escalada por uma constante conhecida? Ou seja, de um modelo cuja variável aleatória assuma o valor igual a (valor conhecido) com probabilidade e com probabilidade . Mostre todos os passos do desenvolvimento da solução.
Passo 1
Antes de pensar no problema, você deve lembrar sobre a distribuição de Bernoulli, em uma variável aleatória pode assumir o valor com probabilidade de e o valor com probabilidade . Neste problema, vamos trabalhar com uma distribuição bem parecida, só que ao invés da variável assumir o valor , ela vai assumir o valor .
O exercício quer que achemos o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro da distribuição. Para isso, vamos ter que lembrar o que é a função de verossimilhança...
Consideremos uma amostra de variáveis que seguem, supostamente, uma distribuição de Bernoulli como a desse problema, isto é,
Cada uma dessas variáveis pode assumir os valores com probabilidade e com probabilidade . Com isso, a função distribuição de probabilidade para cada uma dessas variáveis é
Aqui vale uma observação importante: no caso da distribuição de Bernoulli tradicional, a distribuição seria , de modo que para teríamos e para teríamos . Agora, para , devemos ter , enquanto para , devemos ter . Essa expressão que eu escrevi acima dá conta do recado!
Eu sei que você deve estar imaginando: “Como eu vou ter essa ideia? Eu vou chutar isso?” A resposta é: NÃO! Não fui um chute...
Olhe bem para expressão para o caso de Bernoulli:
Para , o primeiro termo sobrevive e o segundo termo desaparece, aí o resultado é . Já para , o primeiro termo some e o segundo sobrevive, e o resultado é . Na situação desse problema, o resultado deve ser para e para . Por isso eu tive que fazer essas pequenas alterações na função distribuição. A ideia é ir fazendo isso por tentativa e erro, até achar uma situação em que tudo bate! Note que no final, basicamente trocamos por ...
Passo 2
Agora que já entendemos bem a função distribuição de probabilidade para cada uma das variáveis de nossa amostra, vamos escrever a função de máxima verossimilhança. Ela nada mais é do que o produto das funções de distribuição de cada uma das variáveis:
Você deve estar se perguntando por que eu escrevi ao invés de , né? A ideia aqui é a seguinte: nós vamos usar a amostra para estimar o valor de , que à priori é desconhecido. Portanto, a função de verossimilhança vai depender do valor de . E aqui está o pulo do gato: para achar o estimador de (que é o que o exercício pede), vamos maximizar a função (daí o nome máxima verossimilhança)!
Como é mais fácil trabalhar com somas do que com produtos, vamos tomar o logaritmo de :
Além disso, temos que
Fazendo o mesmo para , , ..., achamos
Colocando e em evidência:
Passo 3
Antes de prosseguir, vamos dar uma simplificada nos termos em parêntesis. PS: estou tentando ao máximo evitar a notação de somatório, mas se você se dá bem com ela aconselho você a empregá-la aqui!
Na última expressão, o termo apareceu pois somamos o valor um vezes. Depois de tudo isso, achamos:
Eu sei que é muito conta, mas já estamos quase acabando...
Passo 4
O passo final é achar o valor de que maximiza essa expressão. Para isso, derivamos com relação a :
Portanto,
Por uma questão de economia, vamos escrever :
Fazendo o mmc,
Para que seja máximo, igualamos a derivada a zero:
Daí, tiramos
Portanto,
Ou ainda,
Esse é o estimador de que obtemos aplicando o método da máxima verossimilhança 😊.