Todo ano acontece no campus da PUC-Rio a Mostra PUC. Nesta Mostra são convidadas diversas empresas para apresentarem palestras. O reitor da PUC gostaria de saber quantos carros BMW entram diariamente no campus com pessoas que vão participar do evento. Você é contratado para realizar uma pesquisa de entrada deste veículo, sabendo-se que se trata de um evento raro. Determine e justifique qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar este parâmetro e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro, detalhe todos os passos da solução.
Passo 1
Queremos fazer uma contagem de carros, ou seja, vamos ter um número inteiro no final. Aí já tá a dica de que devemos usar uma distribuição discreta!
Agora pensa comigo, vamos supor que a gente tem uma v.a. que represente o número de carros BMW que vieram para o evento Mostra PUC em um dia.
E o reitor quer saber quantos carros que vão participar do evento entram diariamente no campus. Ou seja, ele quer uma taxa do tipo quantidade de carros por dia. Falou de taxa, já lembrou Poisson! Vamos dizer então que:
É esse que queremos estimar pelo método do estimador de máxima verossimilhança, já que ele representa a taxa por unidade de tempo no evento da Poisson! Vamos ao nosso passo-a-passo.
Passo 2
Passo 1: Escrever a função de probabilidade da Poisson.
Passo 3
Passo 2: Chamar nosso parâmetro desconhecido de .
Passo 4
Passo 3: Calcular a função de verossimilhança .
Vamos ter multiplicações da mesma base de potência , então mantemos a base e somamos os expoentes:
Mesma coisa pra base de potência , vamos manter a base e somar vezes o expoente . E somados vezes dá pra gente . Ou seja:
E o no denominador vamos deixar quieto. Ficamos com isso no final então:
Passo 5
Passo 4: Calcular o .
Vamos usar a propriedade do quociente para nos livrarmos dessa fração, o da fração é igual ao do numerador menos o do denominador:
E agora a propriedade do produto pra desmembrar esse primeiro , o do produto é igual a soma dos :
Derrubando esses expoentes pela propriedade:
E como :
Passo 6
Passo 5: Calcular a derivada de em relação a .
Aquele último com produtório vai sumir, porque não tem lá dentro, então é como se fosse derivada de constante. Vamos derivar separadamente os outros dois termos:
Juntando tudo temos que:
Passo 7
Passo 6: Igualar a derivada a zero e isolar .
Opa, mas isso aí é a fórmula da média amostral, lembra?
Então nosso estimador de máxima verossimilhança: