Exercícios Resolvidos de Estimador De Máxima Verossimilhança

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Enunciado

Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicato. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra de n sindicalizados e estão previstas N repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitos favoráveis a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para o tal parâmetro (proporção).

Passo 1

Vou considerar apenas uma das N pesquisas, de modo que teremos n entrevistados e cada um pode dizer se é a favor ou contra o candidato. Isso se enquadra muito bem numa distribuição binomial com p sendo a probabilidade de um eleitor ser a favor e 1 - p a probabilidade ele ser contra o candidato.

Olhando individualmente para cada eleitor, temos uma distribuição de Bernoulli em que a função distribuição é

f x = p x 1 - p 1 - x

Olhando individualmente para um eleitor, temos

f x i = p x i 1 - p 1 - x i

A função de verossimilhança é o produto de cada uma das probabilidades referentes a cada eleitor:

L p ,   x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = p x 1 1 - p 1 - x 1 ⋅ p x 2 1 - p 1 - x 2 ⋅ … ⋅ p x n 1 - p 1 - x n

Queremos achar o valor de p que maximiza essa função!

Passo 2

Tomando o logaritmo, temos que

ln ⁡ L = ln ⁡ p x 1 1 - p 1 - x 1 ⋅ p x 2 1 - p 1 - x 2 ⋅ … ⋅ p x n 1 - p 1 - x n

Usando a propriedade ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b :

ln ⁡ L = ln ⁡ p x 1 + ln ⁡ 1 - p 1 - x 1 + … + ln ⁡ p x n + ln ⁡ 1 - p 1 - x n

Lembre-se também que ln ⁡ a b = b ln ⁡ a :

ln ⁡ L = x 1 ln ⁡ p + 1 - x 1 ln ⁡ 1 - p + … + x n ln ⁡ p + 1 - x n ln ⁡ 1 - p

Podemos colocar os logs em evidência:

ln ⁡ L = x 1 + … + x n ln ⁡ p + 1 - x 1 + … + 1 - x n ln ⁡ 1 - p

Note que

1 - x 1 + … + 1 - x n = 1 + 1 + 1 + … + 1 - x 1 + x 2 + … + x n

1 - x 1 + … + 1 - x n = n - x 1 + x 2 + … + x n

Por uma questão de simplicidade, vou escrever

S = x 1 + x 2 + … + x n

Assim,

ln ⁡ L = S ln ⁡ p + n - S ln ⁡ 1 - p

Passo 3

Nosso objetivo é achar o valor de p que maximiza ln ⁡ L . Para isso, derivamos com relação a p e igualamos a 0 :

∂ ln ⁡ L ∂ p = S p + n - S ⋅ - 1 1 - p = 0

Logo,

S p = n - S 1 - p

Multiplicando em cruz:

S - S p = n p - S p → p = S n

Isso significa que o valor de p que maximiza a função de verossimilhança é a soma de todas as pessoas a favor da candidato dividida pelo total de pessoas:

p = x 1 + x 2 + … + x n n

Esse é o estimador em uma pesquisa. Se considerarmos todas as N pesquisar, teríamos n N pessoas, de modo que

p = x 1 + x 2 + … + x n N n N

O estimador da proporção é a proporção de pessoas a favor do candidato na pesquisa!

Resposta

O estimador da proporção é a proporção de pessoas a favor do candidato na pesquisa.

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