Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.2 – P3 – Questão 1
Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicato. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra de sindicalizados e estão previstas repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitos favoráveis a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para o tal parâmetro (proporção).
Passo 1
Vou considerar apenas uma das pesquisas, de modo que teremos entrevistados e cada um pode dizer se é a favor ou contra o candidato. Isso se enquadra muito bem numa distribuição binomial com sendo a probabilidade de um eleitor ser a favor e a probabilidade ele ser contra o candidato.
Olhando individualmente para cada eleitor, temos uma distribuição de Bernoulli em que a função distribuição é
Olhando individualmente para um eleitor, temos
A função de verossimilhança é o produto de cada uma das probabilidades referentes a cada eleitor:
Queremos achar o valor de que maximiza essa função!
Passo 2
Tomando o logaritmo, temos que
Usando a propriedade :
Lembre-se também que :
Podemos colocar os logs em evidência:
Note que
Por uma questão de simplicidade, vou escrever
Assim,
Passo 3
Nosso objetivo é achar o valor de que maximiza . Para isso, derivamos com relação a e igualamos a :
Logo,
Multiplicando em cruz:
Isso significa que o valor de que maximiza a função de verossimilhança é a soma de todas as pessoas a favor da candidato dividida pelo total de pessoas:
Esse é o estimador em uma pesquisa. Se considerarmos todas as pesquisar, teríamos pessoas, de modo que
O estimador da proporção é a proporção de pessoas a favor do candidato na pesquisa!
Resposta
O estimador da proporção é a proporção de pessoas a favor do candidato na pesquisa.