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Tem-se um modelo probabilístico descrito por uma variável aleatória discreta que modela o seguinte experimento: repete-se o experimento de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso até atingir o primeiro sucesso.
Determine qual é o modelo probabilístico que deve ser adotado para estimar o parâmetro desta função de probabilidade e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro, detalhe todos os passos da solução.
Passo 1
Aqui temos que lembrar qual modelo é esse que tá sendo descrito!
Quando temos vários experimentos de Bernoulli repetidos e que, quando atingimos o primeiro sucesso, paramos de repeti-lo, temos uma distribuição Geométrica!
Agora que sabemos disso, podemos seguir nosso passo-a-passo para descobrir o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro desconhecido da distribuição, que é o .
Passo 2
Primeira coisa, vamos escrever a função de densidade da nossa distribuição usando no lugar do parâmetro desconhecido :
Agora calculamos a função :
e são bases de potência que se repetem vezes, e quando temos potências de mesma base sendo multiplicadas, nós mantemos a base e somamos os expoentes, então...
Essa sequêcia de vai englobar números , então essa soma vai dar simplesmente . E para o outro expoente, podemos escrever os como um somatório, e os (que vão se repetir vezes) como :
Passo 3
Para o terceiro passo, temos que calcular o logaritmo da função de máxima verossimilhança:
Temos duas bases de potência se multiplicando aí dentro, e o logaritmo de um produto é a mesma coisa que a soma dos logaritmos de cada termo separadamente, então...
E agora podemos derrubar esses expoentes graças as propriedades dos logaritmos...
Passo 4
Agora temos que derivar isso aí, em relação ao parâmetro , e igualar a zero:
E a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então:
Derivando o primeiro termo em relação a :
E para o segundo, temos que fazer a regra do produto:
Reorganizando isso aí:
Igualando a zero agora:
Passo 5
Finalmente, isolamos nosso parâmetro desconhecido nessa expressão:
Lembrando a fórmula da média amostral :