Tem-se um modelo probabilístico (paramétrico) descrito por uma variável aleatória discreta, que modela o seguinte experimento: repete-se o experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso até se atingir o primeiro sucesso.
Pergunta-se: Que modelo é este e qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo probabilístico? (mostrar todos os passos da solução).
Passo 1
Primeira pergunta: que modelo probabilístico é esse? Lembra?
É o modelo geométrico, que tem a seguinte função de probabilidade:
Beleza?
É a partir disso que vamos estimar o parâmetro desse modelo. Primeiro, substituímos ele por uma estimativa .
Passo 2
Agora calculamos .
Multiplicando vezes um mesmo , temos . A mesma ideia pode ser aplicada a outra parte da função, ficaríamos com:
Passo 3
Calculamos .
Passo 4
Calcular a derivada desse em função do parâmetro estimado .
E igualamos essa derivada a zero para calcular o estimador de máxima verossimilhança.
Ou seja...
Podemos substituir por , já que esse é o estimador de máxima verossimilhança.