Estimador e Erros
Num estudo sobre o peso dos brasileiros, foram pesadas pessoas escolhidas de forma aleatória. Os resultados desta amostra podem ser denotados por . Seja a variável aleatória representando o peso de um brasileiro selecionado ao acaso. Admita que são conhecidos , e a probabilidade de que um brasileiro pese mais que 100 kg.
- Sugerir um estimador para o peso médio dos brasileiros, e um estimador para a proporção de pessoas pesando mais que .
- Expresse a média e a variância destes estimadores, em função de , e .
- teria a mesma distribuição se estivéssemos amostrando pessoas sem reposição dentro de uma cidade cuja população é de pessoas para estudar o comportamento do peso nesta cidade? (Justificar).
Passo 1
(a)
A gente aprendeu que um bom estimador para o peso médio e para a proporção são e média amostral e a proporção amostral . São elas que vamos usar.
Nosso estimador para o peso médio da população será:
Certo? Soma de todos os pesos, divididos pela quantidade total de pessoas da amostra que é .
Passo 2
Para a proporção de pessoas com mais de ... pensa comigo!
Essa proporção nada mais é do que o número de pessoas com mais de dividido pela quantidade total de pessoas, certo? Como que a gente faz pra contabilizar o número de pessoas com mais de ?
Vou chamar uma variável :
Show? Aí quando eu fizer eu vou tá contabilizando o total de pessoas com mais de da nossa amostra.
Aí nosso estimador será:
Passo 3
(b)
Vamos lá, vamos usar as propriedades da esperança e da variância.
O enunciado disse que ... vai ser igual a .
Daí:
Passo 4
O enunciado disse que ... vai ser igual a . Já que são mil e cada um tem variância igual a .
Daí:
Passo 5
Agora para a proporção...
Sendo que cada variável segue uma distribuição de Bernoulli, concorda? Ela só tem dois possíveis (sucesso ou fracasso) que é ter ou não mais de , a prob. de sucesso é conhecido .
Se segue uma distribuição Bernoulli a gente conhece sua esperança e variância.
Sabendo disso e voltando ali em cima a gente fica com:
Passo 6
Para a variância:
Como a gente viu ali em cima... . Daí:
Passo 7
(c)
Não, porque pensa comigo... quando a população é infinita ou não estimada, qualquer amostra que você tira dela é uma amostra aleatória... quando você tem uma população finita de pessoas e vai retirar uma amostra de pessoas, sua amostra já não é mais tão aleatória assim, os já não são independentes. Você está retirando metade da população na sua amostra.