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Exercícios Resolvidos de Estimadores

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Exercício 12345678910111213

Enunciado

Suponha um experimento consistindo de n   provas de Bernoulli, com propriedades de sucesso p . Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores

a) p ^ 1 = X n

b) p ^ 2 = 1 ,   s e   a   p r i m e i r a   p r o v a   r e s u l t a r   s u c e s s o   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Determine a esperança e variância de cada estimador. Por que p ^ 2 não é um “bom” estimador?

Passo 1

Vamos olhar para cada um separadamente para poder comparar os mesmos ok?

- p ^ 1

Como p ^ 1 não possui restrição nenhuma, ou seja, estamos olhando para todas as tentativas, podemos perceber que temos uma Distribuição Binomial.

p ^ 1   ~   B i n o m i a l ( n , p )

E sabemos que em uma binomial,

E X = n p   e   V a r X = n p ( 1 - p )

Passo 2

Portanto

E p ^ 1 = E X n  

Como n = c o n s t a n t e

E p ^ 1 = 1 n × E X = n p n = p

E

V a r p ^ 1 = V a r X n

V a r p ^ 1 = 1 n 2 × V a r X = n p 1 - p n 2 = p 1 - p n

Passo 3

Olhando para p ^ 2 ... Vamos identifica-lo?

Note que pela restrição de p ^ 2 somente o primeiro resultado importa. Se ele for sucesso dizemos que p ^ 2 = 1 e caso seja fracasso p ^ 2 = 0 . Por essa restrição notamos que temos um experimento de Bernoulli para X i , que é o resultado da primeira prova.

Sabemos que em Bernoulli

E X = p   e   V a r X = p ( 1 - p )

Passo 4

Vamos calcular E X i   e   V a r ( X i ) para avaliar melhor p ^ 2 .

E p ^ 2 = E X i = p

V a r p ^ 2 = V a r X i = p ( 1 - p )

Passo 5

Comparando p ^ 2 e p ^ 1 notamos que p ^ 2 só assume valores 0 ou 1, pois só observa o primeiro resultado, o que mostra que ele é um pior estimador. Além disso pelas nossar contas vimos que V a r p ^ 2 = n V a r ( p ^ 1 ) , ou seja, sua variância será sempre maior que do estimador p ^ 1 (para todo n maior que 1 né!).

Resposta

p ^ 2   é o pior estimador.

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