Suponha que X segue uma distribuição Normal de média 3 e desvio padrão 0,4 .

Temos uma amostra de 40   unidades de X , e os valores de X são independentes.

Determine a distribuição da média amostral e seus parâmetros, sua esperança e sua variância.

Passo 1

Sabemos que:

μ = 3

σ = 0,4

Aqui temos que lembrar de como lidamos com uma amostra a partir de uma população normal. Se criarmos uma v.a. Y que represente a soma de todos os X da nossa amostra:

Y = ( X 1 + X 2 … + X 40 )

Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que a distribuição de Y também é uma Normal, onde os parâmetros vão ser:

Y ~ N o r m a l n μ , n σ 2 → n = 40 → Y ~ N o r m a l 120 ; 6,4

A média amostral é a soma das v.a.s divida pelo tamanho da amostral, certo? Mas Y já é a soma das v.a.s, então:

x - = Y n

Ué, se x - é uma distribuição Normal dividida por um número n , x - também vai seguir uma distribuição Normal!

Passo 2

Para descobrir a esperança e a variância de x - vamos “aplicar” esperança dos dois lados da equação:

E ( x - ) = E Y n

Usando as propriedades:

E ( x - ) = E ( Y ) n

Vimos lá em cima que E Y = 120 , então:

E x - = 120 40 = 3

Para a variância, vamos fazer a mesma coisa:

V a r ( x - ) = V a r Y n

Usando as propriedades, o 1 n sai ao quadrado:

V a r ( x - ) = V a r ( Y ) n ²

Como vimos, V a r Y = 6,4 , então:

V a r x - = 6,4 40 2 = 0,004

Resposta

E x - = 3   e   V a r ( x - ) = 0,004

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