USP – Cálculo Numérico – P1 – 2017/1
1) Se , uma matriz tridiagonal:
Que possui decomposição (sem trocas de linhas) da forma abaixo:
e
a) Escreva um algoritmo para calcular e .
b) Escreva também um algoritmo para a resolução de um sistema linear conhecendo-se a decomposição acima.
Passo 1
Falaaa... beleza???
Agora, pra resolver a letra b, vamos escrever um algoritmo pra resolver o sistema linear a partir da decomposição .
Pra resolver um sistema a partir da decomposição fazemos:
Chamamos .
Resolvemos primeiro:
E depois
Passo 2
Como já temos e , então, resolvendo primeiro:
Resolvendo esse sistema:
Passo 3
Agora resolvendo:
Resolvendo:
Resposta
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O vetor p que armazena a informação sobre as permutações realzadas durante a fatoração LU pode ser construído como p k = i , se na etapa k a linha i da matriz A ( k - 1 ) for escolhida como a linha pi
Se A = L D U , como fica a resolução de A x = b ?
Mostre que, se A é matriz não singular e A = L U , então A = L D U → , onde D é matriz diagonal U → matriz triangular superior com diagonal unitária.
Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.