Exercícios Resolvidos de Força de Arrasto

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Enunciado

A resistência ao movimento de uma boa bicicleta sobre um pavimento liso é decorrente, quase que inteiramente, do arrasto aerodinâmico. Considere que a massa total de ciclista e bicicleta é W   =   100   k g . A área frontal, medida de uma fotografia, é A   =   0,46 m 2 . Experiências em uma colina com declive de 9% mostram que a velocidade terminal é V 1   =   15   m / s . A partir desses dados, o coeficiente de arrasto é estimado como C D   =   1,2 . Verifique os cálculos do coeficiente de arrasto. Estime a distância necessária para que o ciclista e bicicleta desacelerem de 15   m / s para 10   m / s , enquanto o ciclista descansa nos pedais após atingir o piso plano.

Passo 1

Aqui a geometria do sistema não se enquadra em nenhum tipo tabelado, pode conferir que não tem “bicicleta” naqueles tipos de geometria da tabela ahah

Bom, então, como saber o coeficiente de arrasto? Nesse problema o enunciado nos fornece somente uma estimativa para seu valor ( C D = 1,2 ) e nos pede para verificar. Então, o coeficiente C D será exatamente nossa incógnita e, portanto, precisamos encontrar a equação que rege o fenômeno e determinar os demais parâmetros.

O sistema avaliado consiste no conjunto ciclista-bicicleta como encontramos na imagem abaixo:

Lembra das aulas de física de plano inclinado? Pois é, vamos utilizar decompor aqui as forças que atuam no nosso “bloquinho”:

F D = M . g . s e n   θ

C D . 1 2 . ρ . V 2 . A = M . g . s e n   θ

Já sabemos os valores de: ρ ,   V , A , M e g . Agora, precisamos encontrar o valor de θ , a fim de determinarmos a componente peso na direção x .

Foi informado que a declividade do plano é de 9 % , portanto, podemos relacioná-la com a tangente do ângulo da seguinte forma:

tan ⁡   θ = H L = 0,09

θ = arctan ⁡ 0,09

θ = 5,14 o

Dessa maneira, já temos todos os parâmetros para o cálculo de C D :

C D . 1 2 . 1,2   k g . m - 3 . 15   m . s - 1 2 . 0,46   m ² = 100   k g . 9,81   m . s - 2 . 0,0896

C D = 1,42

Esse foi o valor calculado, vamos comparar com a estimativa inicial. O erro relativo da estimativa em relação ao cálculo é de:

E r r o = 1,42 - 1,20 1,20 . 100 % = 18 %

Erros superiores a 10% geralmente não são aceitos, mas numa visão menos conservadora, poderíamos assumir o valor como satisfatório.

Passo 2

Agora é a parte 2 do enunciado! Vamos calcular a distância necessária para que o ciclista sofra uma desaceleração de 15   m . s - 1 para 10   m . s - 1 . A força resultante sobre um corpo é dada por:

F r e s = m . a = M . d V d t

Como o enunciado afirma que a resistência ao movimento é quase que interiamente devido à força de arrasto, temos que:

F D = M . d V d t

Como estamos interessados na distância para que haja a desaceleração (e não no tempo), podemos reescrever a velocidade como sendo:

  V = d S d t     ,                                   l o g o :             d t = d S V

Com a notação de Leibniz, podemos substituir o infinitesimal d t na equação da força resultante:

F D = M . V . d V d S

C D . 1 2 . ρ . V 2 . A = M . V . d V d S

d S = 2 . M C D . ρ . V . A d V

Integrando a equação, teremos:

∫ 0 d d S = ∫ V 1 V 2 2 . M C D . ρ . V . A d V

d = 2 . M C D . ρ . A . ln ⁡ V 2 V 1 10 15        

Utilizando o coeficiente de arrasto ( C D = 1,2 ) estimado:

d = 2 . 100   k g 1,2 . 1,2   k g . m - 3 . 0,46   m ² . ln ⁡ 15   m . s - 1 10   m . s - 1

d = 122,4   m

Resposta

d = 122,4   m

CONFERIR RESOLUÇÃO! VERIFICAR SE A FORÇA RESULTANTE NÃO DEVERIA SER A COMPONENTE DO PESO EM X MENOS A FORÇA DE ARRASTO!

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