Determine o maior valor admissível da carga distribuída para a viga mostrada, sabendo que a tensão normal admissível é de em tração e de em compressão.
Passo 1
O que nós sabemos?
Sabemos que o carregamento na viga vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes e momentos fletores .
Esses momentos fletores vão gerar na viga tensões normais de flexão , de acordo com a fórmula da flexão:
Onde:
- (ou só “”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
- é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão em relação à linha neutra da seção;
- & (ou só “”) é o momento de inércia da área da seção.
Lembrando que nessa equação, dependendo dos sinais de e de , a tensão pode assumir valores positivos (de tração) ou negativos (de compressão).
Beleza...
E o que é que está acontecendo no exercício?
Nesse exercício, vamos ter certas seções da viga onde o momento fletor vai ter os seus “valores críticos”: os seus maiores valores positivo e negativo.
Nessas seções, que vamos chamar de “seções críticas”, há a chance de que a tensão normal atinja, ou no topo ou na base da seção, o seu valor máximo em tração ():
...e/ou o seu valor máximo em compressão ():
...sendo que, para a viga do exercício, essas tensões tem que ser monitoradas para garantir que elas não ultrapassem os seus valores máximos admissíveis de e .
Ou seja, essas tensões tem que satisfazer as condições:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine o valor máximo da carga distribuída de tal forma que as condições acima ainda sejam respeitadas.
Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:
1. Encontrar os momentos fletores críticos na viga em função de .
Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.
2. Analisar a geometria em “T” da seção transversal da viga para encontrar a posição de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área .
3. Definir os “valores críticos” de para a viga e aplicar a fórmula da flexão usando esses valores e os momentos fletores críticos encontrados anteriormente.
Assim, vamos encontrar as tensões máximas de tração () e compressão () na viga em função da carga distribuída desconhecida .
E, finalmente, 4. Aplicar as condições e .
Assim, vamos descobrir os valores máximos permitidos para de acordo com essas condições, resolvendo então o exercício.
Passo 2
Então vamos começar encontrando os momentos fletores críticos na viga através dos métodos da estática!
Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, temos o DCL ou:
Para essa viga:
- O apoio móvel em vai realizar uma reação na vertical ;
- E o apoio fixo em vai realizar uma reação na horizontal (que vai acabar sendo nula e pode ser omitida do DCL) e uma reação na vertical .
Então o DCL dessa viga deve ficar assim:
Passo 3
Feito o DCL, seguimos para o:
Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:
Na hora de fazer esse somatório, consideramos a força distribuída uniforme que atua ao longo do comprimento total de da viga como uma força equivalente .
Dessa forma, o somatório fica assim:
O que significa que:
Em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto médio “” da viga, onde a força equivalente à força distribuída uniforme atua:
Dessa forma, vamos ter:
O que significa que:
Daí que, substituindo isso na expressão anterior , conseguimos encontrar que:
Passo 4
Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:
Na nossa viga, temos descontinuidades em (início da viga e de uma força distribuída), em e em (forças concentradas) e em (final da viga e de uma força distribuída).
Então precisamos avaliar as seções entre e , entre e e entre e :
Em cada caso, só queremos saber o valor do momento fletor , então podemos aplicar somente o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção.
Além disso, em cada caso, podemos considerar a força distribuída como uma força equivalente que atua bem no meio da seção da viga em que se está aplicando o equilíbrio.
Para as seções entre e , vamos ter:
Lembrando que aqui, corresponde à força equivalente à carga distribuída enquanto corresponde ao seu braço.
Aí, isolando , encontramos que:
Em seguida, para as seções entre e , temos:
Isolando e fazendo a distributiva em “”, temos:
E finalmente, substituindo , encontramos que:
Por fim, para as seções entre e , temos:
Lembrando que nesse caso, corresponde à força equivalente à carga distribuída enquanto que é o seu bra��o.
Aí, isolando , encontramos que:
E, desenvolvendo essa expressão, encontramos:
O que significa que:
Passo 5
Por fim, podemos seguir para o último passo dos métodos da estática, que são os:
Sendo que aqui, importa para a gente fazer o diagrama do momento fletor .
Então vamos pensar...
Como vimos no passo anterior, o momento fletor é descrito por três equações, dependendo do trecho da viga que estamos analisando.
Primeiro, para o trecho , nós temos a função quadrática:
O que significa que o momento fletor varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (uma vez que a segunda derivada dessa função acima é negativa), entre os pontos:
Além disso...
Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos que o ponto crítico dessa função é , onde , que vai ser o ponto de máximo da função, uma vez que ela tem uma concavidade para baixo.
Em seguida, para o trecho , temos outra função quadrática:
O que significa que o momento varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (pelo mesmo motivo da função anterior), entre os pontos:
Além disso...
Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos o ponto de máximo , onde o momento fletor vai valer:
Por fim, para o trecho , temos uma terceira função quadrática:
O que significa que o momento varia parabolicamente, com uma concavidade para baixo (pelo mesmo motivo das funções anteriores), entre os pontos:
Além disso...
Fazendo a primeira derivada dessa função e igualando-a a zero, encontramos o ponto de máximo , o acabamos de calcular que o momento fletor é igual à zero.
Assim...
Juntando tudo que acabamos de ver...
Conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor abaixo para essa viga:
E tcharam! 😎
Desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar que os valores críticos (os valores máximos positivo e negativo) do momento fletor nessa viga são:
E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática.
Passo 6
Agora, podemos seguir para o estudo das propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, começando pela determinação da:
Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:
Em seguida, separamos essa geometria em elementos numerados e definimos a base da viga como o ponto :
Calculamos as áreas de cada elemento e as posições dos centros de cada um e colocamos esses resultados em uma tabela:
Sendo que, nessa tabela, também colocamos na coluna final os produtos entre esses valores para cada elemento e na linha final os somatórios das áreas e dos produtos .
Com isso, podemos finalmente calcular a posição da linha neutra usando a fórmula:
Substituindo e , encontramos que:
Que é a posição da nossa linha neutra!
Passo 7
Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:
Aqui, devemos começar calculando o momento de inércia da área de cada elemento.
No nosso caso, tanto o elemento quanto o elemento que compõem essa viga são retangulares.
Dessa forma, os dois vão ter momentos de inércia da área dados pela fórmula .
Assim, para o elemento , que está “deitado” com uma base e uma altura , vamos ter que:
Já para o elemento , que está “em pé” com uma base e uma altura , vamos ter que:
Em seguida, temos que determinar as distâncias entre o centro de cada elemento e a linha neutra:
Da tabela do passo 6, vemos que o centro do elemento está a uma altura de , então:
Já o centro do elemento está a uma altura de , então a sua distância vai dar:
Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área da seção transversal como um todo:
Realizando esse somatório, temos:
Substituindo os valores:
- e ;
- e ;
- & ,
E calculando tudo, vamos encontrar que:
Passo 8
Agora, podemos definir os “valores críticos” (máximos positivo e negativo) de para essa viga.
Assim, vamos poder aplicar a fórmula da flexão usando esses valores e os valores críticos de encontrados lá no passo .
E, com isso, vamos encontrar as tensões máximas de tração () e compressão () na viga em função da carga distribuída desconhecida .
Então vamos lá!
Em qualquer viga, os valores máximos positivo e negativo de vão acontecer para o topo e para a base da viga.
Para a nossa viga:
- Já definimos a sua base como o ponto ;
- Já encontramos a posição da sua linha neutra;
- E, somando com , vemos que o seu topo vai ter uma altura de ,
...como mostra a figura abaixo:
Isso significa que o valor máximo positivo da posição de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:
E que o valor máximo negativo da posição de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:
Passo 9
Com esses valores, podemos calcular as tensões de tração e compressão máximas para os pontos críticos e (onde ) e (onde ).
Para os pontos e , temos:
Substituindo:
- para os pontos e ;
- e ;
- ,
- ;
- e ;
- ,
Encontramos que:
Já para o ponto , temos:
Substituindo, para o ponto :
Encontramos que:
Passo 10
Finalmente, com os resultados do passo passado, conseguimos ver que a tensão máxima de tração nessa viga é:
E que a tensão máxima de compressão na viga é:
Agora, podemos inserir esses valores nas nossas condições de projeto:
...que vão ficar assim:
Daí, sabendo que é o mesmo que e isolando nessas expressão acima, encontramos que:
Ou seja...
O valor máximo admissível para a carga distribuída é , ou , que é a nossa resposta!!!!
