P3 de Álgebra Linear 1 da USP - 2016

Seja um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações:

1. Se para todo inteiro existe um subconjunto linearmente independente de com elementos, então nenhum subconjunto finito de gera ;
2. Se e são subespaços de tais que e se , são tais que

então e ;

3. Se e são subespaços de tais que é um subespaço de , então está contido em ou está contido em .

Assinale a alternativa correta:

1. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
2. todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
3. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
4. apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
5. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.

Sejam e matrizes reais tais que é obtida de por operações elementares de escalonamento em linhas. Considere as seguintes afirmações:

1. O subespaço gerado pelas linhas de coincide com o subespaço gerado pelas linhas de ;
2. O subespaço gerado pelas colunas de coincide com o subespaço gerado pelas colunas de ;
3. Se a matriz está escalonada e não possui linhas nulas, então as linhas da matriz são linearmente independentes.

Assinale a alternativa correta:

1. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
3. apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
4. todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
5. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.