USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2016 – Questão 3
Sejam e matrizes reais tais que é obtida de por operações elementares de escalonamento em linhas. Considere as seguintes afirmações:
- O subespaço gerado pelas linhas de coincide com o subespaço gerado pelas linhas de ;
- O subespaço gerado pelas colunas de coincide com o subespaço gerado pelas colunas de ;
- Se a matriz está escalonada e não possui linhas nulas, então as linhas da matriz são linearmente independentes.
Assinale a alternativa correta:
- apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
- apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
- apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
- todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
- apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Fala aí, pessoal! Como vocês estão? Vamos analisar cada uma das três afirmações, começando pela (I). Mas antes disso, vamos relembrar um pouco cada uma das três operações elementares de escalonamento em linhas de uma matriz:
- Permutar duas linhas da matriz.
- Multiplicar uma linha por um escalar .
- Somar a uma linha da matriz outra multiplicada por um escalar .
Notação:
Notação:
Notação:
Beleza! Agora que já relembramos quais são as operações elementares, vamos pensar juntos: só trocar duas linhas de lugar, permutando-os, com certeza não muda o espaço gerado pelas linhas. Mas e quanto às outras duas operações? Ótima pergunta! Note que as operações (ii) e (iii) juntas nada mais são do que combinações lineares. Ou seja, a gente troca uma linha por uma combinação linear dela com outras.
Agora, o espaço gerado pelas linhas nada mais é do que o conjunto das combinações lineares das linhas! Então quando a gente troca uma linha por uma combinação linear dela com outras, a gente simplesmente tá colocando ali uma linha que já estaria no espaço gerado de qualquer forma.
Então sim, o subespaço gerado pelas linhas de coincide com o subespaço gerado pelas linhas de e a afirmação (I) é verdadeira!
Passo 2
Partindo agora para a (II), temos uma afirmação bastante similar, né? Só trocou linhas por colunas.
Mas e aí? Será que continua sendo verdade? Então, não ☹. Como as operações elementares são feitas nas linhas, a gente garante que o espaço linha não muda. Mas não é feita nenhuma consideração quanto às colunas. Dessa forma, o espaço coluna pode sim mudar. Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. Considere a matriz :
Se fizermos , obtemos a seguinte matriz :
Vamos agora analisar juntos os respectivos espaços-coluna: o espaço gerado pelas colunas de é , enquanto o espaço gerado pelas colunas de é . Ou seja, são diferentes! Logo, a afirmação (II) é falsa.
Passo 3
Última afirmação, (III)! Estamos quase lá. Já vimos lá na afirmação (I) que o subespaço gerado pelas linhas de é o mesmo que o subespaço gerado pelas linhas de , certo? O que significa então uma linha de aparecer nula após concluído o escalonamento? Ótima pergunta! Significa que essa linha era combinação linear das outras, por isso acabou eventualmente zerando durante o procedimento.
Pelo mesmo raciocínio que acabamos de aplicar, se não tem nenhuma linha nula, então todas as suas linhas são LI, já que nenhuma pode ser escrita como combinação linear das demais. Mas o espaço gerado pelas linhas de não era o mesmo que o espaço gerado pelas linhas de ? Então também tem que ter todas as suas linhas LI! Daí vemos que a afirmação (III) é verdadeira.
Ufa, acabamos. Que tal irmos juntos para mais uma questão? 😊
Resposta
(e) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.