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P3 de Álgebra Linear 1 da USP - 2018

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Álgebra Linear 1 - USP

Seja U = 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 , um subespaço vetorial de R 3 e a x + b y + z = 0 uma equação de U, isto é

U = x , y , z ∈ R 3     a x + b y + z = 0 } .

Então b é igual a:

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Seja γ   ∈ R . Considere os vetores u =   1 1 γ 0 ,   v = γ 1 1 0 ,   w = 1 γ 1 0   ∈ M 2 R . O subespaço vetorial gerado por u,v,e w tem dimensão 3, se e somente se:

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Seja V = x , y , z ∈ R 3     x , y , z > 0 } com as operações

x 1 , y 1 , z 1 ⊕ x 2 , y 2 , z 2 = ( x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 )

λ ⊙ x , y , z = x λ , y λ , z λ   p a r a   t o d o   λ   ∈ R .

Considere as seguintes afirmações:

I   1,1 , 1 ,   1,2 , 3 , , 2,2 , 8   é   L . D . .

I I   1,2 , 3 , 1,4 , 9   é   L . D . .

I I I   1,2 , 3 , 2,2 , 8   é   L . D . .

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Sejam V = M 2 ( R ) ,

S = A ∈ V   |     A 1 0 0 2 = 1 0 0 2 A e   T = a b c d ∈ V   |   b + c = 0    

Nestas condições podemos afirmar:

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Sejam

S = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - c = 0   e T = a b c d ∈ M 2 ( R )     |   a - b + d = 0     .

Nestas condições S e T são subespaços vetoriais de M 2 ( R ) e

a dim ⁡ S ∩ T = 2 ;

b dim ⁡ S ∩ T = 1 ;

c dim ⁡ S ∩ T = 3 ;

d   S ⊆ T ;

e T ⊆ S .

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Seja V um espaço vetorial sobre R , e u , v   e   w   três vetores em V tal que o conjunto u + v - w , u - v + w , u - v - w   é   L . I . .   Considere as seguintes afirmações:

I   O   c o n j u n t o   u + v , u + w , v + w   é   L . I

I I   O   c o n j u n t o   u - v , u - w , v + w   é   L . I . .    

I I I   O   c o n j u n t o   u , u + v , u + v + w   é   L . D . .  

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Sejam S e T os subespaços de P 3 R = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   |   a i   ∈ R } definidos por

S = { p x ∈ P 3 R   |   p 1 = 0 }   e   T = { p x ∈ P 3 R   |   p ' 1 = 0 }   ,

Onde p ' ( x ) é a derivada da função polinomial p ( x ) em relação à variável x. Considere as seguintes afirmações.

I d i m d i m   S ∩ T   = 2 ;

I I d i m d i m   S + T   = 3 ;

I I I d i m d i m   T   = 2 .

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Seja V = M 2 R e

A =   2 - 1 0 1 ,   B = 0 3 - 1 2   ,   e   C = 4 - 5 1 0

elementos de V. Seja S = [ A , B , C ] o subespaço vetorial de V gerado por A ,   B   e   C . Se r   ∈ R tal que a matriz X =   r - r 1 1   pertence ao subespaço S, então podemos afirmar que

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Considere as seguintes afirmações:

I   R = x , y , z ∈ R 3   x = y 2 = z }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I   S = x , y , z ∈ R 3   x , y , z   ∈ Q }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I I   T = x , y , z ∈ R 3   x = y + 1 = z + 2 }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

Nestas condições podemos afirmar.

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Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V de dimensão 5. Suponha que dim(U) = dim(W) = 3 e para cada v   ∈ V existem u   ∈ U     e   w ∈ W tal que v = u + w . Então é corretor afirmar que

a ) dim ⁡ U ∩ W = 1

b )   dim ⁡ U ∩ W = 2

c )   U ∩ W   é   o   c o n j u n t o   v a z i o .

d )   S e   u   ∈ U     e   w ∈ W tal que u + w = 0 V   então necessariamente u = 0 V   e   w =   0 V  

e ) dim ⁡ U ∩ W = 0    

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Sejam α   e   β números reais tal que o vetor α , 1,5 , β   d e   R 4 pertence ao subespaço vetorial gerado pelos vetores 1,0 , 2,1   e   2,1 , - 1,0 . Então α + β   é igual a

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Dadas as matrizes

A =   1 0 0 0 ,         B = 1 2 0 1 ,         C = 0 0 1 0 ,         D = 0 2 1 1

Considere as seguintes afirmações:

I   S ã o   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e s ;  

I I   G e r a m   u m   s u b e s p a ç o   d e   M 2 R   d e   d i m e n s ã o   3 ;

I I I   F o r m a m   u m a   b a s e   d e   M 2 R .

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Sejam os vetores   u = 3,0 , - 1,2 E , v = 1,1 , 1 , - 2 E     e   w = 0,1 , 0,3 E , com coordenadas referidas a uma base E = e 1 , e 2 , e 3 , e 4   d e   R 4 . Indicar qual das seguintes afirmações é falsa.

a   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   e 1 , e 2   e   [ u , v ]

b   O s   v e t o r e s   u ,   e 2 , e 3 , e 4   f o r m a m   u m a   b a s e   d e   R 4

c   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   u , v e     [ e 3 , e 4 ]

d   R 4   é   s o m a   d o s   s u b e s p a ç o s   u , v , w   e   [ e 4 ]

e   A   d i m e n s ã o   d o   s u b e s p a ç o   d e   R 4   g e r a d o   p o r   u , v   e   w ,   é   3 .

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Em R 4 se consideram os subespaços vetoriais

S = [ 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 , - 1,0 , 0,1 , 2,1 ]

T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     x 1 - x 3 - x 4 = 0 ,   x 2 + x 3 = 0 }

Então

a dim ⁡ S = 2   e dim ⁡ S + T = 3

b dim ⁡ S = 2   e dim ⁡ S + T = 4

c dim ⁡ S = 3   e dim ⁡ S + T = 4

c dim ⁡ S = 3   e dim ⁡ S ∩ T = 1

e dim ⁡ S ≠ dim ⁡ T   e   S + T = R 4

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No espaço vetorial R 4 consideramos os seguintes subespaços vetoriais

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |   x 1 - x 3 = 0 ,   x 3 + x 4 = 0

W = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |     x 2 - x 3 = 0 ,   x 1 - x 4 = 0  

Sejam u = a , b , c , d ∈ U   e   w   ∈ W   t a l   q u e

u + w = ( 1,1 , - 1 , - 1 )

Então a + b + c + d   é   i g u a l   a

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Sejam V = P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3     a i   ∈ R } , B = { 1 , x , x 2 , x 3 } a base canônica e S = { 1,0 , 1,0 B , 0,1 , 0,1 B , 0,1 , 1,0 B } . Nestas condições se o vetor u = α , β , 2 , - 1 B é tal que S   ∪ u   é L.D., então α + β   pertence ao intervalo

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