P1 de Álgebra Linear 1 da USP - 2022

Sejam dados vetores distintos em e sejaw}. Considere as seguintes afirmações:

(I) se , então é linearmente dependente;

(II) se é ortogonal a e a , então é linearmente independente;

(III) se é linearmente dependente, então existem tais que é igual

a .

Está correto o que se afirma em:

1. Somente em 1
2. 1 e 3 apenas
3. 1,2 e 3
4. 1 e 2 apenas
5. 2 e 3 apenas

Sejam vetores tais que e tais que a medida

do ângulo entre seja igual a . Temos que o cosseno do ângulo entre

é igual a:

Seja uma base ortonormal de e considere os vetores . Suponha que seja uma base ortogonal de tal que tem a mesma direção que , e tal que é uma combinação linear de .

Se são tais que , então:

Sejam e considere o sistema linear

nas incógnitas reais Considere também as seguintes afirmações:

(I) se são tais que esse sistema possui solução, então o seu conjunto solução será descrito usando no máximo uma variável livre;

(II) esse sistema é impossível para certos valores de ;

(III) se esse sistema tiver infinitas soluções, então .

As afirmações verdadeiras são:

1. apenas a 2
2. apenas a 1 e 2
3. apenas a 1
4. apenas a 2 e 3
5. apenas a 1 e 3

Sejam um inteiro, A uma matriz real e considere as afirmações abaixo.

(I) Seja a matriz obtida de trocando a primeira linha pela primeira coluna (mantendo inalteradas as entradas que não estão nem na primeira linha nem na primeira coluna). Vale que .

(II) Denote por a primeira, segunda e terceira linhas de , respectivamente. Se é a matriz obtida de trocando a primeira linha por , então , quaisquer que sejam .

(III) Se é uma matriz real qualquer e denota a transposta de uma matriz X, então

As afirmações verdadeiras são:

1. apenas a 2 e 3
2. apenas a 2
3. apenas a 3
4. apenas a 1 e 2
5. apenas a 1 e 3

Sejam n um inteiro positivo e matrizes reais tais que . Considere as seguintes afirmações:

(I)

(II) se é igual à matriz identidade, então

(III) se

Assinale a alternativa correta:

As afirmações verdadeiras são:

1. apenas a 2 e 3
2. apenas a 2
3. apenas a 3
4. apenas a 1 e 2
5. apenas a 1 e 3

Sejam e considere o sistema linear

nas incógnitas reais . Se esse sistema possui uma única solução, então

é igual a:

Assinale a alternativa correta:

Sejam A e B matrizes reais invers ́ıveis 4 × 4 e suponha que

em que denota a transposta da matriz . Temos que igual

Assinale a alternativa correta:

Considere em um tetraedro e a base . Sejam o ponto médio do segmento , o ponto médio do segmento e o ponto do segmento tal que . Em que denota a distância entre os pontos . Temos que a soma das coordenadas do vetor na base é igual a:

Considere em um tetraedro regular de aresta unitária e seja o ponto da semirreta de origem passando por tal que

em que denota a distância entre os pontos . Temos que o produto

escalar dos vetores e é igual a:

Seja uma base de e considere os vetores

Se são tais que , então é igual.

Sejam pontos que não pertençam a uma mesma reta e considere o vetor

Seja o ponto tal que o vetor seja paralelo a e tal que seja paralelo

a . Assinale a alternativa correta:

Considere uma base ortonormal de e sejam tais que o vetor seja uma combinação linear dos vetores . Suponha que , que seja ortogonal ao vetor e que o ângulo entre e o vetor seja agudo. Temos que é igual a:

Considere as matrizes

e seja uma matriz real tal que , em que denota a transposta da matriz . Temos que o determinante de é igual a:

Seja uma base de . Assinale a alternativa correspondente ao vetor que torna o conjunto

linearmente independente.

Sejam dados vetores tais que e a medida do ângulo entre seja igual a . Dado , temos que

se e somente se, é igual a: