Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

PREC de Álgebra Linear 1 da USP - 2018

Ver tudo sobre
Álgebra Linear 1 - USP

Seja E um espaço vetorial de dimensão n , onde n ≥ 1 . Considere as seguintes afirmações

I   Se uma família de vetores de E é linearmente independente, então essa família contém no máximo n   vetores

( I I ) Se uma família de vetores de E tem exatamente n - 1 vetores, então essa família é necessariamente linearmente independente e não geradora

I I I   S e j a   C = u 1 , u 2 , … , u n   uma família de n vetores distintos de E . Se todo vetor v   de E se escreve como combinação linear dos vetores de C , então a equação

∑ i = 1 n λ i u i = 0 →

Tem como única solução λ i = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n

Então está certo o que se afirma

a   em (I) e (III), somente

b em (I), somente

c em (I) e (II), somente

d nas três afirmações

e em (II) e (III), somente

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações

I   ∀   u → , v → , w → ∈ V 3 ,   s e   u → ∧ v → = w →   e n t ã o   w → ∧ v → = - u →

I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   t a i s   q u e   u → ∙ v → = - 4   e   u → = v → = 5 ,   v a l e   q u e     u → ∧ v → = 3

I I I   ∀   u → , v → ∈ V 3 ,   s e   u → , v → , w →   é   b a s e   p o s i t i v a ,   e n t ã o   u → - v → , v → - w → , w →   t a m b é m   é  

b a s e   p o s i t i v a

Então está certo o que se afirma em

a )   I I   e   I I I   s o m e n t e

b )   I   e   I I I   s o m e n t e

c )   I I I   s o m e n t e

d )   I   s o m e n t e

e )   I I   s o m e n t e

Ver solução completa

Em P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R , considere os subespaços vetoriais

V = 1 , x , x 2   e   W = P ∈ P 3 R   : P 1 = 0 . Assinale a afirmação correta:

a )   d i m V > dim ⁡ W ,   e   V ∩ W   t e m   d i m e n s ã o   1

b )     V = W

c )   d i m V = dim ⁡ W ,   e   V ∩ W   t e m   d i m e n s ã o   1

d )   d i m V > dim ⁡ W ,   e   V + W = P 3 R

e ) dim ⁡ V = dim ⁡ W ,   e   V + W = P 3 ( R )

Ver solução completa

Sejam A,B,C,D os pontos de E 3 definidos por A = 1,2 , 0 ,   B = 3,1 , 3 ,   C = 0,2 , 1 ,   D = ( 0,1 , 2 ) . A altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é igual a:

a ) 4 √ 3 9

b ) 2 √ 3 9

c ) √ 3 3

d ) 2 √ 3 3

e ) 4 √ 3 3

Ver solução completa

Sejam u 1 → , u 2 → , u 3 →   vetores em V 3 , e sejam v 1 → , v 2 → , v 3 → os vetores

v 1 → = a 1 u 1 → + a 2 u 2 → + a 3 u 3 →

v 2 → = b 1 u 1 → + b 2 u 2 → + b 3 u 3 →

v 3 → = c 1 u 1 → + c 2 u 2 → + c 3 u 3 →

Onde a i , b i , c i ∈ R ,   i = 1,2 , 3   . Considere as seguintes afirmações:

I   V a l e   a   i d e n t i d a d e   v 1 → , v 2 → , v 3 → = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 u 1 → , u 2 → , u 3 → ;

I I   S e     v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I  

I I I   S e   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I

Assinale a alternativa correta:

a )     s ó   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

b )   s ó   I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

c )   s ó   I I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r o s

d )   s ó   I I   é   v e r d a d e i r a

e )   a s   t r ê s   s ã o   v e r d a d e i r a s

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações sobre os vetores em V 3

I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ x → = x →   é   x → = 0 →

I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ i → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

I I I   A   ú n i c a   s o l u ç ã o   d a   e q u a ç ã o   x → ∧ x → ∧ i → = 0 →   é   x → = 0 →

Assinale a alternativa correta

a )   a s   t r ê s     a f i r m a ç õ e s   s ã o   v e r d a d e i r a s

b )   s ó   I   é   v e r d a d e i r a

c )   s ó   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a

d )   a s   t r ê s   a f i r m a ç õ e s   s ã o   f a l s a s

e )     s ó   I I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

Ver solução completa

Sejam α , β ∈ R .   Considere o sistema linear

x + y + z = 0 x + β y + z = α x - β y + β z = α

Assinale a afirmação verdadeira

a ) não existe valor de α   e   β para que o sistema seja compatível indeterminado

b ) se β = 1 , o sistema tem exatamente uma variável livre

c ) Se o sistema é compatível e indeterminado então α = 0   e   β ≠ 1

d ) o sistema é compatível para α   e   β quaisquer

e ) o sistema é compatível determinado se, e somente se, β ≠ 1

Ver solução completa

Nesta questão, a → , b → , c → representa o produto misto de três vetores a → , b → , c →   d e   V 3 . Considere as seguintes afirmações para u → , v → , w → , v ' → , w ' → vetores de V 3

I   u → , v → + v ' → , w → + w ' → = u → , v → , w → + u → , v ' → , w ' →

I I   S e   u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   p o s i t i v a   e n t ã o   - u → + v → - w → , - v → + w → , w → > 0

I I I   S e   u →   e   v →   s ã o   o r t o g o n a i s   e   n ã o   n u l o s ,   e   u → , v → , w → = u v w ,   e n t ã o   w →   é    

p a r a l e l o   a o   v e t o r   n o r m a l   a o   p l a n o   d e   E 3   d e   e q u a ç ã o   X = O + λ u → + μ v → .

Ver solução completa

Considere o seguinte subespaço do espaço vetorial das matrizes 2 × 3 :

W = X   ∈ M 2 × 3 R :     A X = X B

Onde A =   0 1 1 0 e B =   0 1 0 1 0 0 0 0 1 . Então podemos afirmar que a dimensão de W é igual a:

a   5

( b ) 6

c 3

d 4

e 0

Ver solução completa

Em E 3 , seja π o plano que contém o ponto B = ( 0,1 , - 3 ) e a reta r de equação X = 1,0 , 1 + t 0,2 , 1 ,   t ∈ R . A equação da reta perpendicular a π e que passa pelo ponto C = ( 1,0 , - 1 ) é:

a   X = 1,0 , - 1 + λ - 3,1 , 2

b   X = - 8 , - 1 , - 1 + λ - 9 , - 1,2

c   X = - 8 , - 1,1 + λ - 9 , - 1,2

d   X = 1,0 , - 1 + λ 9,1 , 2

e   X = - 8 , - 1,1 + λ 9,1 , 2

Ver solução completa

Considere os seguintes casos

I E = P 4 R   (o espaço dos polinômios de grau ≤ 4   ) e V = P ∈ E   : P 2 = 0   e   P ' 2 = 2

( I I ) E = M 2 ( R ) e V é o conjunto das matrizes de E tais que a soma das entradas da diagonal principal é zero

( I I ) E = R 7 e V é o conjunto dos elementos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) de E satisfazendo a equação

x 2 - x 3 + x 4 = x 1 x 7 - x 6 + x 3 = x 1 x 2 x 3 = x 5                              

É corretor afirmar que V é um subespaço vetorial de E

a nos casos I I   e   ( I I I ) , somente

b no caso I somente

c em nenhum dos casos

d no caso (III ) , somente

e no caso I I somente

Ver solução completa

Dado um triângulo A B C , sejam P ,   Q ,   R pontos sobre os lados B C - ,   C A - , A B - , respectivamente, tais que B P → =   2 P C → ,     C Q → =   2 Q A →   e     A R → = 2   R B → . Então podemos afirmar que   A P → +   B Q → +   C R → é igual a:

a )     A B →

b )     P Q → + 2   Q R → + 3   R P →

c )     A B → +   2 B C → + 3   C A →

d )   0

e )   3   A B → + 2   B C → +   C A →

Ver solução completa

Em E 3 , seja r a reta de equação X = 0,1 , 2 + t ( 1 , - 1 , - 1 ) e s a reta de equação

2 x + y + z = 2 x - y + 2 z = 4

Então a distância entre r e s vale

a ) 6 3

b )   2 3

c ) 6 6

d ) 6 2

e )   3

Ver solução completa

Considere os seguintes subespaços do espaço das matrizes reais 3 × 3 : S = A ∈ M 3 R : A t = A e N = a i j ∈ M 3 R :   φ A = 0 , onde φ A = 0 é a soma de todas as entradas da matriz A. Então podemos afirmar que a dimensão de N ∩ S é igual a

a )   4

b )   5

c )   9

d )   6

e )   7

Ver solução completa

Sabe-se que A = ( 0,2 , 1 ) é vértice de um quadrado que possui uma diagonal contida na reta r : x + 1 = - y + 2 = 2 z . Então é correto afirmar que existe um outro vértice C = ( a , b , c ) do quadrado com a + b + c igual a:

a ) 2 3  

b ) - 1 3

c ) 1 3

d ) - 2 3

e ) - 4 3

Ver solução completa

Considere as retas r : X = 1,0 , 1 + λ - 1,1 , 0 , com λ ∈ R e s : X = 0,1 , 2 + μ ( 2,0 , 1 ) , com μ ∈ R , bem como o vetor t → = 0,1 , 3 . Se t é uma reta paralela a t → , e os pontos P = ( a , b , c ) e Q = ( a ' ,   b ' ,   c ' ) são tais que P = t ∩ r e Q = t ∩ s , então a + b + c + a ' + b ' + c ' é igual a:

a) 18 / 5

b) 28 / 5

c) 29 / 5

d) 5

e) 2

Ver solução completa

Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2016P1 - 2017P1 - 2020P2 - 2018P1 - 2021PSUB - 2017P2 - 2020P1 - 2022P2 - 2021P2 - 2022