P2 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2014.2

À questão “Dado fixo, a transformação dada por é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

Embora seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

Mostre que é linear.

Existe algum tal que seja injetiva?

Determine uma base do núcleo e uma base da imagem de quando

Uma transformação linear é chamada de projeção quando , e simetria quando (Onde é a transformação identidade)

Determine se as transformações abaixo são projeções ou simetrias:

dada por

dada por

Seja uma projeção. Mostre que a transformação linear dada por é uma simetria.

Mostre que se é uma projeção, então .

Seja uma projeção. Mostre que se , então .

Supondo que tenha dimensão finita, mostre que para toda projeção temos

Dica: Observe que todo pode ser escrito como .

Considere a transformação linear definida pela figura abaixo:

Determine uma expressão para a imagem de um vetor

Determine onde e

Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .