P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2019.1

Determine a inversa da matriz

Considere a base ortonormal de

Os vetores estão escritos na canônica.

1. Mostre que é uma base ortonormal de .
2. Considere o vetor de cujas coordenadas na base canônica são . Determine a segunda coordenada do vetor na base .
3. Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base canônica à base .
4. Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base à base canônica.

Considere a transformação linear, cuja matriz na base canônica é:

1. Determine os autovalores de .
2. Determine, se possível, uma base de autovetores de .
3. Considere a matriz Determine o traço de .
4. Determine se existe uma base de tal que a matriz na base seja:

Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

5. Determine se existe uma base de tal que a matriz de na base seja:

Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

Considere o plano de de equação cartesiana:

E as transformações lineares

• espelhamento no plano e
• projeção ortogonal no plano .

Denote por e as matrizes e na base canônica, respectivamente.

1. Determine explicitamente matrizes , e tais que:

Onde é ortogonal e e são diagonais.

2. Determine explicitamente a matriz .
3. Considere a base de

Determine explicitamente a matriz , a matriz na base