P4 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2018.1

Considere a reta e o plano Π de equação

a) Determine

b) Calcule a distância entre

Seja R : R³ → R³ a transformação linear que é a reflexão com relação a uma reta r. Assuma que a matriz de R na base canônica é

   .

(a) Determine os autovalores de R

(b) Determine um vetor u com a direção da reta r.

(c) Determine os autoespaços de R.

(d) R é diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize¹ R. Se sua resposta foi negativa, justifique.

(e) Determine explicitamente [R]-¹ . (Lembre que sempre é preciso justificar.)

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se T : R² → R² é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R² , então T é ortogonalmente diagonalizável.

(b) Se u, v e w são vetores não nulos e tais que , então .

(c) Se u, v e w são vetores não nulos de R³ e tais que , então

(d) Se u e v são vetores do R³ ortogonais e de mesmo módulo, então

(e) Se u e v são vetores não nulos e com a mesma direção, então