Seja R : R³ → R³ a transformação linear que é a reflexão com relação a uma reta r. Assuma que a matriz de R na base canônica é
.
(a) Determine os autovalores de R
(b) Determine um vetor u com a direção da reta r.
(c) Determine os autoespaços de R.
(d) R é diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize¹ R. Se sua resposta foi negativa, justifique.
(e) Determine explicitamente [R]-¹ . (Lembre que sempre é preciso justificar.)
Passo 1
Vamos lá, para determinarmos os autovalores, poderíamos usar aquela fórmula que já estamos craques, nesse caso faríamos:
E assim por diante ...
Mas tem algo que pode simplificar a nossa vida. O enunciado nos diz que essa transformação linear é uma reflexão, ou seja, o os autovalores necessariamente serão e
Passo 2
Vamos ao item b!
Na verdade a nossa reta r, é o autovetor associado ao autovalor
Teremos:
Resolvendo esse sistema, encontramos como resposta e podemos escolher
Normalizando, temos:
Passo 3
Já temos o autovetor para o primeiro autovalor e para o segundo?
Vamos lá!
Resolvendo esse sistema, encontraremos x=2y, em outras palavras, temos:
Normalizando, teremos:
Ainda associado ao autovalor , podemos pensar no autovetor que é ortogonal ao autovetor , pois o produto interno entre eles é zero.
Passo 4
R com certeza é diagonalizável, inclusive já encontramos os seus autovalores e autovetores, basta agora “montarmos” as nossas matrizes D (autovalores), P e (Autovetores). Nesse caso, = pois essa base é ortonormal.
Passo 5
Vamos ao último item...ufaaa
Agora, queremos encontrar o inverso de R. Sabemos que R é ortogonal, então podemos escrever:
UÉ, DEU A MESMA MATRIZ?
SIM, ESSA MATRIZ É SIMÉTRICA!
Resposta
a) e
b)
c), ,
d)
e)