P2 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.2

Considere o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e de grau até 2 e seja uma base de

1. Seja Determine
2. Seja tal que Determine
3. Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

Se então

Sejam vetores em

a)Seja a matriz cujas linhas são os vetorese , ou seja,

Encontre a matriz escalonada reduzida de

b)Considere

(b.1) Mostre que é um subespaço vetorial de

(b.2) Determine uma base para

c)Seja a transformação linear (ou matricial) dada por

(c.1) Determine a que representa a transformação

(c.2) Determine o posto e a nulidade de

(c.3) Determine uma base do espaço coluna de

Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação

e) Encontre três vetores e, satisfazendo simultaneamente:

• e são três autovetores distintos de
• e .

Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação

a)Mostre que a transformação é definida pela matriz

b)Determine a reflexão de com relação ao plano

c)Determine o posto e a nulidade de do item(a).

d)A matriz do item (a) é invertível? Se sua resposta foi afirmativa, determine Se sua resposta foi negativa, justifique.